Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir risk analisti, finansal bir varlığın getiri şoklarını XX rastgele değişkeni ile modellemektedir. Yapılan analizlerde XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x;θ)=12θe−∣x∣/θ,−∞<x<∞,θ>0 f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-|x|/\theta}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

biçiminde çift üstel (Laplace) dağılıma uyduğu belirlenmiştir. Analist, bu getiri şoklarının varyansını tahmin etmek için bir model geliştirecektir.

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, bu dağılımdan çekilmiş nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem olmak üzere, günlük getiri şoklarının varyansının (Var(X)Var(X)) yansız tahmin edicileri için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16θ4n\frac{16\theta^4}{n}Cevap
  2. B
    8θ4n\frac{8\theta^4}{n}
  3. C
    4θ4n\frac{4\theta^4}{n}
  4. D
    4θ3n\frac{4\theta^3}{n}
  5. E
    16θ2n\frac{16\theta^2}{n}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı 16θ4n\frac{16\theta^4}{n} olarak bulunur.
Cramer-Rao alt sınırı, bir θ\theta parametresinin bir fonksiyonu olan τ(θ)\tau(\theta) için [τ′(θ)]2n⋅I(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} formülü ile bulunur. Soru, Laplace dağılımı için varyansın yansız tahmin edicisi için alt sınırı sormaktadır. Dağılımın varyansı τ(θ)=2θ2\tau(\theta) = 2\theta^2 şeklindedir ve türevi τ′(θ)=4θ\tau'(\theta) = 4\theta'dır. Dağılımın log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifi alınarak Fisher Bilgi miktarı I(θ)=1/θ2I(\theta) = 1/\theta^2 olarak bulunur. Formülde yerine konulduğunda, (4θ)2/(n/θ2)=16θ4/n(4\theta)^2 / (n/\theta^2) = 16\theta^4/n sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edilecek parametrik fonksiyonu (varyansı) belirleme
τ(θ)=Var(X)=E[X2]−(E[X])2=2θ2−0=2θ2\tau(\theta) = Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2\theta^2 - 0 = 2\theta^2
Cramer-Rao alt sınırını bulmak için öncelikle tahmin edilecek fonksiyonun θ\theta cinsinden karşılığı bulunmalıdır.
2
Parametrik fonksiyonun türevini alma
τ′(θ)=ddθ(2θ2)=4θ\tau'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(2\theta^2) = 4\theta
Alt sınır formülünün pay kısmı için dönüştürülmüş fonksiyonun türevine ve karesine ihtiyaç vardır.
3
Tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesaplama
ln⁡f(X;θ)=−ln⁡(2θ)−∣X∣θ  ⟹  ∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−2∣X∣θ3  ⟹  −E[∂2ln⁡f∂θ2]=1θ2\ln f(X;\theta) = -\ln(2\theta) - \frac{|X|}{\theta} \implies \frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2|X|}{\theta^3} \implies -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2}
Formülün paydası için dağılımın bilgi matrisi hesaplanmalıdır. Simgesel işlemde E[∣X∣]=θE[|X|] = \theta olduğu dikkate alınır.
4
Cramer-Rao alt sınırını hesaplama
CRLB=[τ′(θ)]2n⋅I(θ)=(4θ)2n(1/θ2)=16θ2n/θ2=16θ4nCRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{(4\theta)^2}{n(1/\theta^2)} = \frac{16\theta^2}{n/\theta^2} = \frac{16\theta^4}{n}
Bulunan değerler [τ′(θ)]2n⋅I(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} formülünde yerine konularak alt sınır elde edilir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fonksiyonel Dönüşüm
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru