Bir üretim tesisinde, X ve Y bağımsız rastgele değişkenleri sırasıyla A ve B makinelerinin… — KPSS İstatistik

Bir üretim tesisinde, $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenleri sırasıyla A ve B makinelerinin günlük çalışma sürelerini (saat) temsil etmektedir.

A makinesinin çalışma süresi

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = \begin{cases} c(4x - x^3), & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.

B makinesinin çalışma süresi $Y$ 'nin ise beklenen değeri 3 saat ve standart sapması 2 saattir.

Bu iki makinenin günlük toplam operasyonel maliyeti (bin TL cinsinden)

M = 3X^2 - 5XY + 2Y^2 + 10

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu üretim tesisinin günlük beklenen operasyonel maliyeti kaç bin TL'dir?

Beklenen değer hesabı için öncelikle olasılık yoğunluk fonksiyonunun alanı 1'e eşitlenerek

c = 1/4

bulunur. Ardından

E[X] = 16/15

E[X^2] = 4/3

integraller yardımıyla hesaplanır. İkinci değişken için

E[Y^2] = Var(Y) + E[Y]^2 = 2^2 + 3^2 = 13

olarak bulunur. İki değişken bağımsız olduğu için

E[XY] = E[X]E[Y] = 16/5

'tir. Beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği

E[M] = 3(4/3) - 5(16/5) + 2(13) + 10 = 4 - 16 + 26 + 10 = 24

sonucuna ulaşılır.

c

sabitinin bulunması

c = \frac{1}{4}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam alanı 1 olmalıdır:

\int_0^2 c(4x - x^3)dx = c[2x^2 - \frac{x^4}{4}]_0^2 = c(8 - 4) = 4c = 1

X

değişkeninin beklenen değerinin (

E[X]

) hesaplanması

E[X] = \frac{16}{15}

E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3)dx = \int_0^2 (x^2 - \frac{x^4}{4})dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{20}]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{32}{20} = \frac{16}{15}

X

'in ikinci momentinin (

E[X^2]

) hesaplanması

E[X^2] = \frac{4}{3}

E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{4}(4x - x^3)dx = \int_0^2 (x^3 - \frac{x^5}{4})dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24}]_0^2 = 4 - \frac{64}{24} = \frac{4}{3}

Y

'nin ikinci momentinin (

E[Y^2]

) hesaplanması

E[Y^2] = 13

Var(Y) = \sigma_Y^2 = 2^2 = 4

. Varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 4 + 3^2 = 13

bulunur.

Doğrusallık ve bağımsızlık özellikleri kullanılarak

E[M]

'nin hesaplanması

E[M] = 24

X

Y

bağımsız olduğu için

E[XY] = E[X]E[Y] = \frac{16}{15} \cdot 3 = \frac{16}{5}

olur. Doğrusallık kuralı ile:

E[M] = 3E[X^2] - 5E[XY] + 2E[Y^2] + 10 = 3(\frac{4}{3}) - 5(\frac{16}{5}) + 2(13) + 10 = 4 - 16 + 26 + 10 = 24

Beklenen değerin doğrusallığı, sürekli değişkenlerde moment hesaplamaları ve bağımsız değişkenlerin özellikleri

Soru