Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBeklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bir kamu kurumunun veri merkezinde, ana sunucunun yoğun işlem kapasitesinde çalıştığı günlük süre (saat) XX ile gösterilmekte olup, bu değişkenin yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki kuralla tanımlanmıştır:

f(x)={x,0≤x<112,1≤x≤20,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{2}, & 1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Aynı merkezde faaliyet gösteren bağımsız soğutma sisteminin günlük enerji tüketimi (kWh) ise YY rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Soğutma sisteminin ortalama enerji tüketimi E[Y]=3E[Y] = 3 kWh olarak ölçülmüştür.

Sistemin günlük toplam operasyonel maliyeti M=144X2−20Y+15M = 144X^2 - 20Y + 15 (TL) bağıntısıyla modellendiğine göre, günlük beklenen operasyonel maliyet (E[M]E[M]) kaç TL olarak hesaplanır?

  1. A
    99
  2. B
    111
  3. 159Cevap
  4. D
    124
  5. E
    219

Cevap

Beklenen operasyonel maliyet 159 TL'dir.
Beklenen değer operatörü doğrusal olduğundan, E[M]=144E[X2]−20E[Y]+15E[M] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15 şeklinde yazılır. E[X2]E[X^2] değeri parçalı fonksiyonda ∫01x3dx+∫12x22dx=14+76=1712\int_0^1 x^3 dx + \int_1^2 \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12} olarak bulunur. Verilen E[Y]=3E[Y]=3 ve hesaplanan E[X2]E[X^2] değerleri formülde yerine konduğunda sonuç 159 TL çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeni için E[X2]E[X^2] değerinin integral ile hesaplanması
E[X2]=∫01x2(x)dx+∫12x2(12)dx=[x44]01+[x36]12=14+(86−16)=14+76=1712E[X^2] = \int_0^1 x^2(x)dx + \int_1^2 x^2(\frac{1}{2})dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 + [\frac{x^3}{6}]_1^2 = \frac{1}{4} + (\frac{8}{6} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12}
Maliyet fonksiyonundaki X2X^2 teriminin beklenen değerini bulmak için, verilen parçalı yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıklarında x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) integrali alınmalıdır.
2
Beklenen değerin doğrusallık özelliğinin (linearity) maliyet fonksiyonuna uygulanması
E[M]=E[144X2−20Y+15]=144E[X2]−20E[Y]+15E[M] = E[144X^2 - 20Y + 15] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15
Beklenen değer operatörü doğrusaldır; bağımsız değişkenlerin veya aynı değişkenin farklı fonksiyonlarının toplam/fark durumlarında sabitler dışarı alınarak ayrı ayrı beklenen değerler yazılabilir.
3
Bulunan E[X2]E[X^2] ve verilen E[Y]E[Y] değerlerinin denkleme yerleştirilmesi
E[M]=144(1712)−20(3)+15=12⋅17−60+15=204−60+15=159E[M] = 144(\frac{17}{12}) - 20(3) + 15 = 12 \cdot 17 - 60 + 15 = 204 - 60 + 15 = 159
Matematiksel umut değerlerinin doğrusal fonksiyonda yerine konulmasıyla nihai operasyonel maliyet hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Beklenen Değerin Doğrusallığı ve Sürekli Rastgele Değişkenlerde Moment Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Beklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri