Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBeklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bir kamu laboratuvarında, belirli bir kimyasal analizin tamamlanma süresi (saat cinsinden) XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={x2,0<x<20,dig˘er durumlarda f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu analiz işlemi için kullanılan cihazın çalışma süresine bağlı olarak tükettiği enerji ve sarf malzeme maliyeti (TL cinsinden) M(X)=45X2+12X+20M(X) = 45X^2 + 12X + 20 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, rastgele seçilen bir analizin beklenen maliyeti kaç TL'dir?

  1. A
    77
  2. B
    106
  3. C
    116
  4. 126Cevap
  5. E
    164

Cevap

Rastgele seçilen bir analizin beklenen maliyeti 126 TL'dir.
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliği gereği E[aX2+bX+c]=aE[X2]+bE[X]+cE[aX^2 + bX + c] = aE[X^2] + bE[X] + c eşitliği geçerlidir. Sürekli XX değişkeninin birinci ve ikinci momentleri hesaplandığında E[X]=4/3E[X] = 4/3 ve E[X2]=2E[X^2] = 2 değerleri elde edilir. Bu değerler doğrusallık formülünde yerine konulduğunda beklenen toplam maliyet 45(2)+12(4/3)+20=12645(2) + 12(4/3) + 20 = 126 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
XX sürekli rastgele değişkeninin birinci momentini (beklenen değerini) hesapla.
E[X]=∫02x(x2)dx=12∫02x2dx=12[x33]02=43E[X] = \int_0^2 x \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{4}{3}
Maliyet fonksiyonundaki 12X12X teriminin beklenen değerini bulmak için gereklidir.
2
XX sürekli rastgele değişkeninin ikinci momentini hesapla.
E[X2]=∫02x2(x2)dx=12∫02x3dx=12[x44]02=2E[X^2] = \int_0^2 x^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2
Maliyet fonksiyonundaki 45X245X^2 teriminin beklenen değerini bulmak için gereklidir.
3
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliğini kullanarak toplam beklenen maliyeti hesapla.
E[M(X)]=E[45X2+12X+20]=45E[X2]+12E[X]+20E[M(X)] = E[45X^2 + 12X + 20] = 45E[X^2] + 12E[X] + 20
E[M(X)]=45(2)+12(43)+20=90+16+20=126E[M(X)] = 45(2) + 12\left(\frac{4}{3}\right) + 20 = 90 + 16 + 20 = 126 TL
Beklenen değer doğrusal bir operatördür (E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+cE[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c), bu nedenle her terimin beklenen değeri ayrı ayrı alınıp toplanabilir.

Anahtar Kavram

Beklenen değerin doğrusallık özelliği ve sürekli rastgele değişkenlerin momentlerinin integral ile hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Beklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru