Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBeklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bir siber güvenlik şirketinde, bulut tabanlı bir ana sunucunun günlük ortalama işlemci (CPU) kullanım oranı XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan analizler sonucunda XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={c⋅x(1−x),0<x<10,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} c \cdot x(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Şirketin bu sunucu için ödediği günlük bulut altyapı maliyeti (Dolar cinsinden) MM rastgele değişkeni ile gösterilmekte olup, M=100X2−10X+50M = 100X^2 - 10X + 50 formülüyle hesaplanmaktadır.

Buna göre, bu sunucunun günlük bulut altyapı maliyetinin beklenen değeri kaç Dolar'dır?

  1. A
    70
  2. B
    25
  3. C
    12,5
  4. 75Cevap
  5. E
    140

Cevap

Sunucunun günlük bulut altyapı maliyetinin beklenen değeri 75 Dolar'dır.
Beklenen değerin hesaplanması için öncelikle alanın 1'e eşit olması kuralıyla olasılık yoğunluk fonksiyonunun bilinmeyen c sabiti 6 olarak bulunmalıdır. Devamında E[X]=∫xf(x)dx=12E[X] = \int x f(x) dx = \frac{1}{2} ve E[X2]=∫x2f(x)dx=310E[X^2] = \int x^2 f(x) dx = \frac{3}{10} integral işlemleriyle elde edilir. Maliyet fonksiyonunun beklenen değeri hesaplanırken E[M]=E[100X2−10X+50]=100E[X2]−10E[X]+50E[M] = E[100X^2 - 10X + 50] = 100E[X^2] - 10E[X] + 50 doğrusallık özelliği kullanılır. Değerler yerine konduğunda 30−5+50=7530 - 5 + 50 = 75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzaydaki integralinin 1 olmasından yola çıkarak c sabitini hesaplamak.
c = 6
Bir f(x) fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tanımlı olduğu aralıktaki toplam alanının 1'e eşit olması zorunludur. Integral [0,1] c(x-x^2)dx = c(1/2 - 1/3) = c/6 = 1 denklemi çözülmüştür.
2
X değişkeninin beklenen değerini (E[X]) bulmak için x*f(x) fonksiyonunun integralini hesaplamak.
E[X] = 1/2
Maliyet formülündeki doğrusal (10X) kısmı çözümleyebilmek için rassal değişkenin birinci momentine ihtiyaç duyulmaktadır. Integral [0,1] 6(x^2 - x^3)dx = 6(1/3 - 1/4) = 1/2 olarak bulunur.
3
X değişkeninin karesinin beklenen değerini (E[X^2]) bulmak için x^2*f(x) fonksiyonunun integralini hesaplamak.
E[X^2] = 3/10
Maliyet formülündeki karesel (100X^2) kısmı çözümleyebilmek için rassal değişkenin ikinci momentine (orijin etrafındaki moment) ihtiyaç vardır. Integral [0,1] 6(x^3 - x^4)dx = 6(1/4 - 1/5) = 3/10 elde edilir.
4
Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak M değişkeninin beklenen değerini (E[M]) neticelendirmek.
E[M] = 75
Beklenen değer lineer bir operatördür: E[100X^2 - 10X + 50] = 100E[X^2] - 10E[X] + 50. Bulduğumuz değerleri yerine yazdığımızda: 100(3/10) - 10(1/2) + 50 = 30 - 5 + 50 = 75 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Moment Hesaplaması ve Beklenen Değerin Doğrusallık Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Beklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru