Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBeklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, geliştirilen özel bir sulama sisteminin günlük aktif çalışma süresi (saat cinsinden) XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={38x2,0≤x≤20,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu sulama sisteminin günlük işletme maliyeti (TL cinsinden) Y=40X2−15X+50Y = 40X^2 - 15X + 50 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, sistemin günlük beklenen işletme maliyeti (E[Y]E[Y]) kaç TL'dir?

  1. A
    73.5
  2. B
    87.5
  3. C
    117.5
  4. 123.5Cevap
  5. E
    180

Cevap

123.5
Beklenen değerin doğrusallık (operatör) kuralı gereği E[40X2−15X+50]=40E[X2]−15E[X]+50E[40X^2 - 15X + 50] = 40E[X^2] - 15E[X] + 50 eşitliği geçerlidir. Sürekli rastgele değişkenler için integral hesabı yapıldığında birinci moment E[X]=∫02x⋅38x2dx=1.5E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = 1.5 ve ikinci moment E[X2]=∫02x2⋅38x2dx=2.4E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = 2.4 olarak bulunur. Bu değerler doğrusallık formülünde yerine konulduğunda 40(2.4)−15(1.5)+50=123.540(2.4) - 15(1.5) + 50 = 123.5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
XX'in beklenen değerini (E[X]E[X]) integral formülü ile hesaplama
E[X]=∫02x⋅38x2dx=38∫02x3dx=38[x44]02=38⋅4=1.5E[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = \frac{3}{8} \int_0^2 x^3 dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{3}{8} \cdot 4 = 1.5
Maliyet fonksiyonundaki lineer XX teriminin ortalama değerini bulmak için
2
X2X^2'nin beklenen değerini (E[X2]E[X^2]) integral formülü ile hesaplama
E[X2]=∫02x2⋅38x2dx=38∫02x4dx=38[x55]02=38⋅325=2.4E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{8}x^2 dx = \frac{3}{8} \int_0^2 x^4 dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{32}{5} = 2.4
Maliyet fonksiyonundaki karesel X2X^2 teriminin ortalama değerini bulmak için
3
Beklenen değerin doğrusallık (lineerlik) özelliğini maliyet fonksiyonuna (YY) uygulama
E[Y]=E[40X2−15X+50]=40E[X2]−15E[X]+50E[Y] = E[40X^2 - 15X + 50] = 40E[X^2] - 15E[X] + 50
Beklenen değer operatörünün kurallarını kullanarak nihai sonucu elde etmek için
4
Bulunan E[X]E[X] ve E[X2]E[X^2] değerlerini yerine koyarak sonucu hesaplama
40(2.4)−15(1.5)+50=96−22.5+50=123.540(2.4) - 15(1.5) + 50 = 96 - 22.5 + 50 = 123.5
Sistemin günlük beklenen maliyetini nihai bir sayı olarak belirlemek için

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer hesaplaması ve beklenen değerin doğrusallık özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Beklenen Değer (Matematiksel Umut) ve Özellikleri