Bir tarım ekonomisti, yıllık ortalama yağış miktarı (X) ile buğday rekoltesi (Y) arasındak… — KPSS İstatistik

Bir tarım ekonomisti, yıllık ortalama yağış miktarı ( $X$ ) ile buğday rekoltesi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n=75$ farklı bölgeye ait verileri kullanarak sırasıyla ikinci dereceden (kuadratik) ve üçüncü dereceden (kübik) polinom regresyon modellerini EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Araştırmacı, kuadratik modelden kübik modele geçildiğinde aşağıdaki bulguları elde etmiştir:
I. Belirtme katsayısı ( $R^2$ ) çok az miktarda artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) azalmıştır.
II. Kübik terime ( $X^3$ ) ait katsayının istatistiksel anlamlılığını sınayan $t$ -testi istatistiği $\%5$ anlamlılık düzeyinde kritik değerin mutlak olarak altında kalmıştır.
III. Kübik modeldeki açıklayıcı değişkenler ( $X, X^2, X^3$ ) için hesaplanan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) değerleri oldukça yüksek bulunmuştur.

Bu bulgulara göre, model seçimi ve tahmincilerin özellikleri ile ilgili aşağıda yapılan değerlendirmelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Modele eklenen kübik terim gereksizdir; bu durum EKK tahmincilerinin sapmasızlığını bozmamış ancak varyanslarını şişirerek etkinliklerini düşürmüştür. $\bar{R}^2$ 'nin düşmesi ve kübik terimin anlamsız olması nedeniyle kuadratik model tercih edilmelidir.Cevap
B
Kübik modelde ortaya çıkan yüksek VIF değerleri, modelde yapısal çoklu doğrusal bağlantı olduğuna işaret eder ve bu durum EKK tahmincilerinin sapmalı (biased) değerler almasına sebep olur.
C
Kübik modele geçildiğinde $\bar{R}^2$ 'nin düşmesinin temel nedeni, yeni modelde hata kareler toplamının serbestlik derecesinin $n-3$ olarak hesaplanmasıdır.
D
Kübik terimin modele marjinal katkısını değerlendirmek için yüksek dereceli terime ait $t$ -testi yerine, modelin genel anlamlılığını ölçen $F$ -testinin sonucuna bakılması istatistiksel olarak zorunludur.
E
Gereksiz $X^3$ teriminin modele dahil edilmesi bir aşırı belirleme (over-specification) hatasıdır ve bu durum EKK tahmincilerinin tutarsız ve sapmalı hale gelmesiyle sonuçlanır.

Cevap

Modele eklenen kübik terim gereksizdir; bu durum EKK tahmincilerinin sapmasızlığını bozmamış ancak varyanslarını şişirerek etkinliklerini düşürmüştür.

\bar{R}^2

'nin düşmesi ve kübik terimin anlamsız olması nedeniyle kuadratik model tercih edilmelidir.

Polinom regresyon modellerinde, modele eklenen en yüksek dereceli terimin istatistiksel anlamlılığı bağımsız t-testi ile sınanır.

X^3

terimi anlamsız bulunduğunda ve modele eklendiğinde düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

) düştüğünde, bu terimin gereksiz olduğu (aşırı belirleme) anlaşılır. Gereksiz bir değişkenin modele eklenmesi ve polinom terimler arasındaki kaçınılmaz yapısal çoklu doğrusal bağlantı, EKK tahmincilerinin sapmasızlık ve tutarlılık özelliklerini etkilemez. Ancak varyansları şişirerek tahmincilerin etkinliğini kaybetmesine neden olur. Bu durumda her zaman istatistiksel olarak daha anlamlı olan alt dereceli (kuadratik) model tercih edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

Kübik terimin anlamlılığını ve modelin açıklayıcılığındaki değişimi değerlendirme.

X^3

katsayısının t-testinde anlamsız bulunması ve düzeltilmiş

R^2

'nin (

\bar{R}^2

) düşmesi, kübik terimin modele istatistiksel olarak anlamlı bir katkı sağlamadığını gösterir.

Polinom derecesine karar verirken en yüksek dereceli terimin t-testine ve modelin serbestlik derecesi kaybını cezalandıran

\bar{R}^2

değerine bakılır.

Çoklu doğrusal bağlantı ve aşırı belirlemenin EKK tahmincileri üzerindeki etkisini analiz etme.

Gereksiz

X^3

teriminin eklenmesi (aşırı belirleme) ve

X, X^2, X^3

arasındaki yapısal çoklu bağlantı (yüksek VIF), EKK tahmincilerinin sapmasızlığını bozmaz ancak varyanslarını şişirir.

EKK'nın Gauss-Markov varsayımlarına göre, çoklu doğrusal bağlantı ve gereksiz değişken eklenmesi sapmaya (bias) neden olmaz, sadece minimum varyans (etkinlik) özelliğinin yitirilmesine yol açar.

Serbestlik derecesi (df) hesaplamasını kontrol etme.

Kübik model

Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \beta_3 X^3 + u

şeklinde tanımlandığı için toplam 4 parametre içerir, dolayısıyla hata serbestlik derecesi

n-4

'tür.

Hata varyansı ve t-testi istatistikleri hesaplanırken doğru serbestlik derecesinin (

n-p

) kullanılması kritik önem taşır.

Nihai model seçimini yapma.

Kübik terim anlamsız olduğu ve varyansı gereksiz yere şişirdiği için, araştırmacı daha sade ve istatistiksel olarak daha uygun olan kuadratik modeli tercih etmelidir.

Regresyon analizinde parsimoni (sadelik) ilkesi gereği, eklenen değişkenin modelin açıklayıcı gücüne anlamlı bir katkısı yoksa daha düşük dereceli modele dönülür.

Anahtar Kavram

Polinom Regresyon Modellerinde Model Seçimi, Serbestlik Derecesi ve Çoklu Bağlantının Etkileri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru