Polinom Regresyon Modelleri

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişken $X$ arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla aşağıdaki ikinci dereceden polinom regresyon modelini tahmin etmiştir:

Modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesinin ardından, $\beta_2$ parametresinin anlamlılığına yönelik yapılan $t$ testi sonucunda hesaplanan $p$ değeri $0,45$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, elde edilen bu bulguya dayalı olarak yapılabilecek en uygun değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, bir üretim sürecindeki sıcaklık ($X$) ile ürün verimi ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n=40$ gözlem kullanarak ikinci dereceden bir polinom regresyon modeli ($Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$) kurmuştur. Yapılan analiz sonucunda en yüksek dereceli terim olan $X^2$ değişkenine ait $t$ istatistiğinin p-değeri $0,24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde bu çalışma ve model seçimi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir iktisatçı, bir ülkedeki yıllık enflasyon oranı ($X$) ile işsizlik oranı ($Y$) arasındaki ilişkiyi $n=28$ yıllık bir veri seti kullanarak aşağıdaki ikinci dereceden polinom regresyon modeli ile analiz etmektedir:

Analiz sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) özet bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Buna göre, bu model için hesaplanan düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$) değeri kaçtır?

Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik analizinde, personelin hizmet yılı ($X$) ile performans puanı ($Y$) arasındaki ilişkiyi modellemek amacıyla aşağıdaki üçüncü dereceden (kübik) polinom regresyon modeli kurulmuştur:

Bu modelde, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilmesi gereken toplam parametre sayısı kaçtır?

Eğitim bilimleri alanında çalışan bir uzman, öğrencilerin haftalık ders çalışma süreleri ($X$) ile merkezi bir sınavdan aldıkları puanlar ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Belirli bir noktadan sonra çalışma süresindeki artışın puana olan marjinal katkısının azaldığını, hatta aşırı çalışmanın yorgunluk nedeniyle puanı düşürebileceğini öngören uzman, bu durumu test etmek için $k$. dereceden bir polinom regresyon modeli ($Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + \dots + \beta_k X_i^k + u_i$) kurmuştur.

Bu modelin tahmini, spesifikasyonu ve istatistiksel varsayımları dikkate alındığında, aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir araştırmacı, $n=34$ gözlemden oluşan bir veri seti kullanarak bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişken $X$ arasındaki ilişkiyi incelemek için sırasıyla ikinci dereceden (kuadratik) ve üçüncü dereceden (kübik) polinom regresyon modellerini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Kuadratik Model: $Y_i = \alpha_0 + \alpha_1 X_i + \alpha_2 X_i^2 + v_i$
(Bu model için belirtme katsayısı $R^2 = 0,742$ olarak hesaplanmıştır.)

Kübik Model: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + \beta_3 X_i^3 + u_i$
(Bu model için belirtme katsayısı $R^2 = 0,750$ olarak hesaplanmıştır.)

Araştırmacı kübik modeli incelediğinde, modele eklenen $X$, $X^2$ ve $X^3$ bağımsız değişkenlerine ait Varyans Büyütme Faktörü (VIF) değerlerinin 80'in üzerinde olduğunu (şiddetli çoklu doğrusal bağlantı problemi) tespit etmiştir.

Bu araştırma sonuçlarına göre model seçimi, parametre testleri ve çoklu doğrusal bağlantının etkileri bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu sağlık kurumunda görevli veri analisti, hastaların yaşları ($X$) ile tedavi masrafları ($Y$) arasındaki fonksiyonel ilişkiyi $n=150$ kişilik bir örneklem üzerinden modellemektedir. Analist, temel doğrusal denkleme $X^2$ (karesel) ve ardından $X^3$ (üçüncü derece) bağımsız değişkenlerini dahil etmiştir. Üçüncü dereceden değişken denkleme eklendiğinde elde edilen sonuçlar şöyledir:

- Açıklama payını gösteren $R^2$ ölçütünde minimal bir artış görülürken, serbestlik derecesi kısıtını dikkate alan $\bar{R}^2$ (düzeltilmiş $R^2$) ölçütü azalmıştır.
- Üçüncü derece değişkene ($X^3$) ait parametrenin $p$-değeri, $0.05$ anlamlılık düzeyinden büyük bulunmuştur.
- Değişkenler ($X, X^2, X^3$) arası hesaplanan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) istatistikleri kritik eşiklerin çok üzerindedir.

Bu analitik tabloya göre, analistin uygulayacağı aşağıdaki adımlardan veya yapacağı yorumlardan hangisi istatistiksel teoriye en uygundur?

Bir finansal risk analisti, bir varlığın getiri oranı ($Y$) ile piyasa oynaklık endeksi ($X$) arasındaki ilişkiyi incelemek için 120 günlük bir veri seti ($n=120$) kullanmaktadır. Analist, ilişkinin doğrusal olmama ihtimalini dikkate alarak sırasıyla doğrusal, karesel ve kübik regresyon modellerini EKK yöntemiyle tahmin etmiş ve aşağıdaki bulguları elde etmiştir:

I. Doğrusal modelden karesel modele geçildiğinde, modele eklenen $X^2$ terimi istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş ($p < 0.05$) ve düzeltilmiş $R^2$ değeri artmıştır.
II. Karesel modelden kübik modele geçildiğinde, $X^3$ teriminin katsayısı anlamsız bulunmuş ($p = 0.34$) ve $X$, $X^2$, $X^3$ terimleri arasındaki VIF (Varyans Şişme Faktörü) değerleri 30'un üzerine çıkarak şiddetli bir çoklu doğrusal bağlantıya işaret etmiştir. Buna rağmen kübik modelin genel F-istatistiği anlamlılığını korumuştur.
III. Analist, yapısal çoklu doğrusal bağlantıyı azaltmak amacıyla bağımsız değişkeni ortalamasından merkezileştirerek ($x_i = X_i - \bar{X}$) kübik modeli yeni değişkenlerle ($x_i, x_i^2, x_i^3$) tekrar tahmin etmiştir.

Bu analistin yürüttüğü süreç ve regresyon teorisi dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir enerji ekonomisti, bir rüzgâr türbininin ürettiği elektrik gücü ($Y$) ile rüzgâr hızı ($X$) arasındaki ilişkiyi modellemek amacıyla $n=58$ günlük gözlem verisi kullanarak sırasıyla doğrusal, karesel ve kübik regresyon modellerini EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Tahmin sonuçlarına göre:
- Karesel modelde $X^2$ teriminin katsayısı istatistiksel olarak anlamlı bulunmuştur.
- Kübik modelde ($Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + \beta_3 X_i^3 + u_i$) ise en yüksek dereceli terim olan $X^3$'ün katsayısı ($\hat{\beta}_3$) istatistiksel olarak anlamsız bulunmuş ve kübik modelin düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$), karesel modelinkine göre düşmüştür.
- Ayrıca kübik modelde $X, X^2$ ve $X^3$ değişkenleri için hesaplanan Varyans Şişirme Faktörü (VIF) değerlerinin çok yüksek (VIF $> 50$) olduğu görülmüştür.

Bu bulgular doğrultusunda, araştırmacının model seçimi ve karşılaştığı ekonometrik duruma ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak en doğrudur?

Bir tarım ekonomisti, yıllık ortalama yağış miktarı ($X$) ile buğday rekoltesi ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n=75$ farklı bölgeye ait verileri kullanarak sırasıyla ikinci dereceden (kuadratik) ve üçüncü dereceden (kübik) polinom regresyon modellerini EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Araştırmacı, kuadratik modelden kübik modele geçildiğinde aşağıdaki bulguları elde etmiştir:
I. Belirtme katsayısı ($R^2$) çok az miktarda artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$) azalmıştır.
II. Kübik terime ($X^3$) ait katsayının istatistiksel anlamlılığını sınayan $t$-testi istatistiği $\%5$ anlamlılık düzeyinde kritik değerin mutlak olarak altında kalmıştır.
III. Kübik modeldeki açıklayıcı değişkenler ($X, X^2, X^3$) için hesaplanan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) değerleri oldukça yüksek bulunmuştur.

Bu bulgulara göre, model seçimi ve tahmincilerin özellikleri ile ilgili aşağıda yapılan değerlendirmelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Bir tarım ekonomisti, yıllık gübre kullanım miktarı ($X$) ile dönüm başına elde edilen ürün verimi ($Y$) arasındaki ilişkiyi çözümlemek amacıyla $n=60$ birimlik kantitatif bir veri setini değerlendirmektedir.

Ekonomist, bağımlı değişkenin değişimini açıklayabilmek için sırasıyla $X$'in birinci, ikinci ve üçüncü dereceden kuvvetlerini içeren ardışık polinom fonksiyonları kurmuştur. En yüksek derecenin $p=3$ olduğu fonksiyona geçiş yapıldığında şu istatistiksel tablo ortaya çıkmıştır:

- Modelin belirtme katsayısı ($R^2$) ikinci dereceden (karesel) modele kıyasla çok küçük bir miktar artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$) ivme kaybederek azalmıştır.
- Modele son aşamada eklenen üçüncü dereceden kuvvete ($X^3$) ait eğim katsayısının t-testi, $\alpha=0.05$ kritik anlamlılık düzeyinde sıfır hipotezini reddedememiştir.
- Modeldeki bağımsız terimler ($X$, $X^2$ ve $X^3$) arasındaki doğrusal bağımlılığı yansıtan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) değerleri tehlike sınırını aşarak 50'nin üzerine çıkmıştır.

Bu analitik tablo ışığında, polinom regresyon modellemesi prensipleri ve EKK varsayımları dikkate alındığında aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir büyükşehir belediyesinde görevli bir kentsel planlama uzmanı, altyapı sistemlerinin yaşı ($X$) ile yıllık bakım maliyetleri ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemek için $n=84$ gözlemden oluşan bir veri seti kullanmaktadır. Uzman, sırasıyla karesel ve kübik polinom regresyon modellerini EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiş ve aşağıdaki bulguları elde etmiştir:

I. Karesel modelden kübik modele geçildiğinde, olağan belirtme katsayısı ($R^2$) artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$) azalmıştır.
II. Kübik modeldeki en yüksek dereceli terim olan $X^3$'ün katsayısı için yapılan $t$-testinin $p$-değeri $0,28$ (istatistiksel olarak $\alpha=0,05$ seviyesinde anlamsız) olarak hesaplanmıştır.
III. Kübik modelde $X, X^2$ ve $X^3$ terimleri için hesaplanan Varyans Şişme Faktörü (VIF) değerleri sırasıyla $45$, $120$ ve $210$ olarak bulunmuştur.

Bu bulgulara göre, model seçimi ve tanısal testlerin yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir üretim mühendisi, yeni geliştirilen bir kompozit malzemenin fırınlama sıcaklığı ($X$) ile malzemenin kopma mukavemeti ($Y$) arasındaki ilişkiyi modellemek için $n=45$ gözlemden oluşan bir veri seti kullanmaktadır. Mühendis sırasıyla karesel ve kübik polinom regresyon modellerini EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Karesel Model: $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X + \hat{\beta}_2 X^2$
Kübik Model: $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X + \hat{\beta}_2 X^2 + \hat{\beta}_3 X^3$

Kübik modelin tahmin sonuçları incelendiğinde şu bulgular elde edilmiştir:
I. Bağımsız değişkenler ($X, X^2, X^3$) arasındaki VIF (Varyans Şişkinlik Faktörü) değerleri 60'ın üzerindedir.
II. En yüksek dereceli terime ait katsayının ($\hat{\beta}_3$) t-testi istatistiği $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde anlamsız bulunmuştur.
III. Karesel modele kıyasla kübik modelin belirtme katsayısı ($R^2$) bir miktar artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ($\bar{R}^2$) düşmüştür.

Bu bulgulara göre, model seçimi ve regresyon varsayımları bağlamında aşağıdakilerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir biyoproses mühendisi, bir fermantasyon reaktöründeki bekleme süresi ($X$, saat) ile elde edilen spesifik enzim verimi ($Y$, mg/L) arasındaki fonksiyonel ilişkiyi çözümlemek amacıyla $n=42$ bağımsız gözlemden oluşan bir veri seti üzerinden üçüncü dereceden (kübik) bir polinom regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Mühendis, karesel ($X^2$'li) modelden kübik modele geçiş yaptığında şu sonuçları elde etmiştir:
- Hata Kareler Toplamı (HKT) bir miktar azalmasına rağmen, düzeltilmiş belirtme katsayısının ($\bar{R}^2$) karesel modele göre düştüğü görülmüştür.
- En yüksek dereceli terim olan $X^3$'ün katsayısı ($\beta_3$) için uygulanan t-testi sonucunda boş hipotez reddedilememiştir.
- Modeldeki $X$, $X^2$ ve $X^3$ terimleri arasındaki Varyans Şişme Faktörü (VIF) değerlerinin oldukça yüksek olduğu saptanmıştır.

Bu bulgular ışığında, analiz süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?