Bir araştırmacı, üç değişkenli (X_1, X_2, X_3) bir veri setine ait varyans-kovaryans matri… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, üç değişkenli ( $X_1, X_2, X_3$ ) bir veri setine ait varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ( $Y_1$ ) şu doğrusal kombinasyon ile ifade edilmektedir:

Y_1 = \frac{2}{3}X_1 + kX_2 + \frac{1}{3}X_3

Temel bileşen katsayılarının normalize edildiği (katsayıların kareleri toplamının 1'e eşit olduğu) bilindiğine göre, $k$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A
0
B
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$ Cevap
D
$\frac{4}{9}$
E
$\frac{5}{9}$

Cevap

Birinci temel bileşenin normalize edilmiş katsayılar kümesinde yer alan k katsayısının pozitif değeri 2/3'tür.

Temel Bileşenler Analizi'nde her bir temel bileşeni oluşturan katsayılar (özvektör bileşenleri), katsayıların kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edilir. Soruda verilen katsayılar için

(\frac{2}{3})^2 + k^2 + (1/3)^2 = 1

eşitliği kurulduğunda,

\frac{4}{9} + k^2 + \frac{1}{9} = 1

elde edilir. Buradan

k^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

olur ve pozitif değer olarak 2/3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Normalizasyon kuralını (katsayı kareleri toplamının 1 olması) belirle.

a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 1

Temel bileşen analizinde katsayılar vektörünün birim uzunlukta (normalize) olması zorunludur.

Verilen katsayı değerlerini formülde yerine koy.

(\frac{2}{3})^2 + k^2 + (1/3)^2 = 1

Doğrusal kombinasyonda verilen katsayıların karesi alınarak işleme dahil edilir.

Bilinmeyen katsayının karesini hesapla.

\frac{4}{9} + k^2 + \frac{1}{9} = 1 \Rightarrow \frac{5}{9} + k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{4}{9}

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak bilinmeyen yalnız bırakılır.

Katsayının pozitif değerini bulmak için karekök al.

k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

Soruda katsayının pozitif değeri istendiği için karekökün pozitif sonucu alınır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Katsayılarının Normalizasyonu

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular