Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA)

Finansal bir varlığa ait getiri serisi üzerinde çalışan bir uzman, serinin dinamiklerini modellemek amacıyla bir ARMA(p,q) modeli kurmuştur. Tahmin edilen modelin otoregresif (AR) ve hareketli ortalama (MA) kısımlarına ait karakteristik polinomlar, gecikme operatörü (BB) kullanılarak sırasıyla Φ(B)\Phi(B) ve Θ(B)\Theta(B) şeklinde ifade edilmiştir.

Yapılan matematiksel analiz sonucunda;
- Φ(B)=0\Phi(B) = 0 karakteristik denkleminin kökleri r1=1,8r_1 = 1,8 ve r2=−2,4r_2 = -2,4
- Θ(B)=0\Theta(B) = 0 karakteristik denkleminin kökleri k1=0,6k_1 = 0,6 ve k2=1,5k_2 = 1,5
olarak hesaplanmıştır.

Bu bilgilere göre, tahmin edilen ARMA modeli ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

  1. Model durağandır çünkü Φ(B)=0\Phi(B)=0 denkleminin tüm kökleri mutlak değerce 1'den büyüktür; ancak Θ(B)=0\Theta(B)=0 denkleminin bir kökü (k1=0,6k_1=0,6) mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinir değildir.Cevap
  2. B
    Model tersinirdir çünkü Φ(B)=0\Phi(B)=0 denkleminin tüm kökleri mutlak değerce 1'den büyüktür; ancak Θ(B)=0\Theta(B)=0 denkleminin bir kökü mutlak değerce 1'den küçük olduğu için durağan değildir.
  3. C
    Karakteristik denklemlerde elde edilen gecikme operatörü köklerinin mutlak değerce 1'den küçük olması gerektiğinden, model ne durağan ne de tersinirdir.
  4. D
    Modelin durağanlık ve tersinirliğine sadece karakteristik denklem kökleri ile kesin karar verilemez; karar verebilmek için ACF ve PACF grafiklerinin sönümlenme davranışının incelenmesi zorunludur.
  5. E
    Köklerden biri olan k1=0,6k_1 = 0,6 değeri 1'den küçük olduğundan, serinin durağanlaştırılabilmesi için öncelikle birinci dereceden fark alma (1−B1-B) işlemi uygulanmalıdır.

Cevap

Modelin otoregresif (AR) köklerinin tamamı mutlak değerce 1'den büyük olduğu için model durağandır. Ancak hareketli ortalama (MA) köklerinden biri mutlak değerce 1'den küçük (0,60,6) olduğu için model tersinir değildir. Doğru değerlendirme budur.
ARMA(p,q) modelinde sürecin durağan olabilmesi için otoregresif operatöre (Φ(B)\Phi(B)) ait karakteristik denklemin tüm kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır. Sürecin tersinir (invertible) olabilmesi için ise hareketli ortalama operatörüne (Θ(B)\Theta(B)) ait karakteristik denklemin tüm kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır. Verilen kökler incelendiğinde, AR kökleri (1,81,8 ve −2,4-2,4) şartı sağladığı için model durağandır. Ancak MA köklerinden biri (0,60,6) şartı sağlamadığı için model tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağanlık koşulunu AR karakteristik denklemi üzerinden kontrol etmek.
Φ(B)=0\Phi(B)=0 denkleminin kökleri r1=1,8r_1=1,8 ve r2=−2,4r_2=-2,4'tür. ∣1,8∣>1|1,8| > 1 ve ∣−2,4∣>1|-2,4| > 1 olduğu görülür.
ARMA modellerinde durağanlık, otoregresif (AR) kısmın karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olmasına bağlıdır.
2
Tersinirlik koşulunu MA karakteristik denklemi üzerinden kontrol etmek.
Θ(B)=0\Theta(B)=0 denkleminin kökleri k1=0,6k_1=0,6 ve k2=1,5k_2=1,5'tir. ∣0,6∣<1|0,6| < 1 olduğundan tüm kökler mutlak değerce 1'den büyük şartı sağlanmamaktadır.
ARMA modellerinde tersinirlik (invertibility), hareketli ortalama (MA) kısmının karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olmasına bağlıdır.
3
Elde edilen sonuçları birleştirerek nihai kararı vermek.
Modelin durağanlık koşulunu sağladığı, ancak tersinirlik koşulunu sağlamadığı sonucuna varılır.
Durağanlık ve tersinirlik koşulları birbirinden bağımsızdır; biri sağlanırken diğeri sağlanmayabilir.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA)