Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir rastgele deneyde XX rastgele değişkeni, n=3n=3 ve p=12p=\frac{1}{2} parametreli Binom dağılımına sahiptir.

Bu değişken üzerinden sırasıyla YY ve ZZ rastgele değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
Y=cos⁡(π2X)Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right)
Z=Y2−YZ = Y^2 - Y

Buna göre, ZZ rastgele değişkeninin varyansı (Var(Z)Var(Z)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    716\frac{7}{16}
  2. B
    1116\frac{11}{16}
  3. C
    34\frac{3}{4}
  4. 1516\frac{15}{16}Cevap
  5. E
    32\frac{3}{2}

Cevap

Doğru cevap, iki ardışık dönüşüm sonucu elde edilen ve çakışan olasılıkların doğru biçimde toplanmasıyla bulunan Z değişkeninin varyansı olan \frac{15}{16} değeridir.
Doğru seçenek \frac{15}{16}'dır çünkü ardışık uygulanan Y=cos⁡(π2X)Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right) ve Z=Y2−YZ = Y^2 - Y dönüşümlerinde, aynı görüntü kümesi elemanına giden tanım kümesi elemanlarının olasılıkları toplanmalıdır. ZZ'nin PMF'si P(Z=0)=58P(Z=0)=\frac{5}{8} ve P(Z=2)=38P(Z=2)=\frac{3}{8} olarak bulunduktan sonra varyans formülü Var(Z)=E[Z2]−(E[Z])2Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 kullanıldığında sonuç 1516\frac{15}{16} çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirlemek.
P(X=0)=18,P(X=1)=38,P(X=2)=38,P(X=3)=18P(X=0)=\frac{1}{8}, P(X=1)=\frac{3}{8}, P(X=2)=\frac{3}{8}, P(X=3)=\frac{1}{8}
Binom dağılımı formülü olan P(X=x)=(nx)px(1−p)n−xP(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} parametreler yerine konularak hesaplanır.
2
Y=cos⁡(π2X)Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right) dönüşümünü uygulayıp YY'nin PMF'sini bulmak.
P(Y=−1)=38,P(Y=0)=12,P(Y=1)=18P(Y=-1)=\frac{3}{8}, P(Y=0)=\frac{1}{2}, P(Y=1)=\frac{1}{8}
xx değerleri kosinüs fonksiyonunda yerine konur. x=1x=1 ve x=3x=3 durumlarının ikisi de y=0y=0 sonucunu verdiğinden, bu değerlerin olasılıkları toplanmalıdır (38+18=12\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}).
3
Z=Y2−YZ = Y^2 - Y dönüşümünü uygulayıp ZZ'nin PMF'sini bulmak.
P(Z=0)=58,P(Z=2)=38P(Z=0)=\frac{5}{8}, P(Z=2)=\frac{3}{8}
yy değerleri yerine konarak zz değerleri bulunur. y=0y=0 ve y=1y=1 durumlarının ikisi de z=0z=0 sonucunu verir. Bu nedenle olasılıkları toplanır (12+18=58\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}). y=−1y=-1 için ise z=(−1)2−(−1)=2z = (-1)^2 - (-1) = 2 olup olasılığı 38\frac{3}{8}'dir.
4
ZZ değişkeninin beklenen değerini (E[Z]E[Z]) ve ikinci momentini (E[Z2]E[Z^2]) hesaplamak.
E[Z]=34,E[Z2]=32E[Z]=\frac{3}{4}, E[Z^2]=\frac{3}{2}
E[Z]=0⋅58+2⋅38=68=34E[Z] = 0 \cdot \frac{5}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} ve E[Z2]=02⋅58+22⋅38=4⋅38=128=32E[Z^2] = 0^2 \cdot \frac{5}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} = 4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} hesaplamaları yapılır.
5
Varyans formülünü uygulayarak sonucu bulmak.
Var(Z)=1516Var(Z)=\frac{15}{16}
Var(Z)=E[Z2]−(E[Z])2Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 formülü gereği 32−(34)2=2416−916=1516\frac{3}{2} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{24}{16} - \frac{9}{16} = \frac{15}{16} bulunur.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Çarpışan Olasılıkların Toplanması

Alternatif Yöntem

Z'nin dağılımını bulmadan doğrudan Beklenen Değer Operatörü Özellikleri (LOTUS) kullanılarak E[Z] ve E[Z^2] değerleri ilk baştaki X'in olasılıkları ile çarpılarak hesaplanabilir. E[Z] = \sum (\cos^2(\frac{\pi}{2}x) - \cos(\frac{\pi}{2}x)) P(X=x) işlemi de aynı sonucu verecektir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler