Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir finansal risk analisti, belirli bir küçük işletme kredisi türü için temerrüde düşme olasılığını (θ\theta) modellemektedir. Analist, geçmiş verilere dayanarak θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımını α=3\alpha=3 ve β=7\beta=7 parametreli Beta dağılımı olarak belirlemiştir. Bu kredi türünden rastgele seçilen n=20n=20 kredilik bir örneklem incelendiğinde, x=4x=4 kredinin temerrüde düştüğü gözlemlenmiştir. Kredilerin temerrüde düşme durumu birbirinden bağımsızdır.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisinin aldığı değer aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    15\frac{1}{5}
  2. B
    314\frac{3}{14}
  3. 730\frac{7}{30}Cevap
  4. D
    310\frac{3}{10}
  5. E
    718\frac{7}{18}

Cevap

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi 730\frac{7}{30} olarak hesaplanır.
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. Önsel dağılım Beta(3,7)Beta(3, 7) ve örneklem bilgisi Binomial(20,θ)Binomial(20, \theta) ile x=4x=4 verildiğinde, sonsal dağılım Beta(3+4,7+20−4)=Beta(7,23)Beta(3+4, 7+20-4) = Beta(7, 23) olur. Bu dağılımın beklenen değeri 77+23=730\frac{7}{7+23} = \frac{7}{30}'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.
Önsel dağılım: θ∼Beta(3,7)\theta \sim Beta(3, 7). Olabilirlik fonksiyonu: X∼Binomial(20,θ)X \sim Binomial(20, \theta) ve gözlem x=4x=4.
Sonsal dağılımı bulmak için Bayes teoreminin temel bileşenlerine ihtiyaç vardır.
2
Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerini hesapla.
Beta-Binom eşlenik (conjugate) yapısından dolayı sonsal dağılım Beta(α+x,β+n−x)Beta(\alpha + x, \beta + n - x) olur. αyeni=3+4=7\alpha_{yeni} = 3 + 4 = 7 ve βyeni=7+20−4=23\beta_{yeni} = 7 + 20 - 4 = 23. Sonsal dağılım: θ∣x∼Beta(7,23)\theta|x \sim Beta(7, 23).
Bayes tahmin edicisi sonsal dağılım üzerinden hesaplanır.
3
Verilen kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisini belirle.
Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) için Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir (ortalamasıdır).
Risk fonksiyonunu minimize eden tahmin edici, karesel hata için sonsal ortalamaya eşittir.
4
Sonsal dağılımın beklenen değerini hesapla.
E(θ∣x)=αyeniαyeni+βyeni=77+23=730E(\theta|x) = \frac{\alpha_{yeni}}{\alpha_{yeni} + \beta_{yeni}} = \frac{7}{7 + 23} = \frac{7}{30}.
Beta dağılımının beklenen değer formülü uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu ile Bayes Tahmini ve Beta-Binom Eşlenikliği
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru