Examkin

Soru

Zorluk: KolayGeometrik Dağılım

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir saha araştırmasında, rastgele seçilen bir hanehalkının ankete katılmayı kabul etme olasılığı p=0,25p = 0,25 olarak belirlenmiştir. Hanelerin ankete katılım kararlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bir anketör, ankete katılmayı kabul eden ilk haneye ulaşana kadar hane ziyaretlerine devam etmektedir. XX rastgele değişkeni "ilk kabulün alındığı toplam hane sayısı" olarak tanımlandığına göre, ilk 3 hanenin ankete katılmayı reddettiği bilindiği durumda, anketörün ilk kabulü toplamda 5. hanede alma olasılığı kaçtır?

  1. 0,18750,1875Cevap
  2. B
    0,07910,0791
  3. C
    0,14060,1406
  4. D
    0,25000,2500
  5. E
    0,10550,1055

Cevap

İlk 3 hanenin reddettiği bilindiğinde, ilk kabulün 5. hanede gerçekleşme olasılığı 0,18750,1875 olarak hesaplanır.
Geometrik dağılım hafızasız bir dağılımdır. Soruda ilk 3 hanenin reddettiği (X>3X > 3) verilmiştir. Bu durumda toplamda 5. hanede kabul alma olasılığı, sürecin 3. haneden sonra yeniden başladığı varsayımıyla 2 deneme sonra başarı elde etme olasılığına (P(X=2)P(X=2)) eşittir. 0,75×0,25=0,18750,75 \times 0,25 = 0,1875 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın ve parametrelerin belirlenmesi
X∼Geo(p=0,25)X \sim \text{Geo}(p=0,25) ve q=1−0,25=0,75q = 1 - 0,25 = 0,75
İlk başarıya kadar geçen deneme sayısı Geometrik dağılım ile modellenir.
2
Hafızasızlık (Memoryless) özelliğinin uygulanması
P(X=5∣X>3)=P(X=5−3)=P(X=2)P(X = 5 | X > 3) = P(X = 5 - 3) = P(X = 2)
Geometrik dağılımda geçmişteki başarısız denemeler gelecek denemelerin olasılığını etkilemez.
3
Olasılık kütle fonksiyonu yardımıyla hesaplama yapılması
P(X=2)=q2−1×p=0,751×0,25=0,1875P(X=2) = q^{2-1} \times p = 0,75^1 \times 0,25 = 0,1875
2. denemedeki ilk başarı olasılığı, 1 başarısızlık ve 1 başarı gerektirir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği P(X=n+k∣X>n)=P(X=k)P(X = n+k | X > n) = P(X = k) eşitliği sağlanır. Ayrıca bu dağılım için E[X]=1/p=4E[X] = 1/p = 4 ve Var(X)=q/p2=0,75/0,0625=12\text{Var}(X) = q/p^2 = 0,75/0,0625 = 12 değerleri hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dağılım

Bu konudan daha fazla soru