Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bir veri bilimcisi, makroekonomik bir değişkenin tahmin edilmesi amacıyla εt∼WN(0,σ2)\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) olmak üzere aşağıdaki ikinci dereceden Hareketli Ortalama (MA(2)) modelini kurmuştur:

Yt=10+εt−2.5εt−1+εt−2Y_t = 10 + \varepsilon_t - 2.5 \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t-2}

Hareketli ortalama süreçlerinin kuramsal özellikleri dikkate alındığında, bu modelin durağanlık durumu, tersinirlik (çevrilebilirlik) şartı ve teorik korelasyon yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Modelin karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında kaldığından model hem durağan hem de tersinirdir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.
  2. B
    Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; PACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, ACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.
  3. Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.Cevap
  4. D
    Karakteristik denklemin köklerinden biri birim çemberin içinde kaldığından model durağan değildir ve tersinirlik koşulunu sağlamaz; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.
  5. E
    Model tersinirdir ancak durağanlık koşulunu sağlamamaktadır; zaman serisinin hem ACF hem de PACF değerleri üstel olarak sıfıra yaklaşma eğilimi gösterir.

Cevap

Model durağandır ancak karakteristik denkleminin köklerinden biri birim çemberin içinde olduğu için tersinir değildir; ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği gecikmeler arttıkça kademeli olarak sıfıra yaklaşır.
Hareketli Ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal kombinasyonundan oluştuğu için daima durağandır. Tersinirlik şartının sağlanması için θ(B)=1−2.5B+B2=0\theta(B) = 1 - 2.5B + B^2 = 0 karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında olması) gerekir. Denklem çözüldüğünde kökler B1=2B_1 = 2 ve B2=0.5B_2 = 0.5 bulunur. 0.50.5 değeri birim çemberin içinde yer aldığından süreç tersinir değildir. Otokorelasyon yapısı incelendiğinde ise, teorik olarak tüm MA(q) süreçlerinde ACF qq. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF kademeli olarak sıfıra yaklaşır. İkinci dereceden bir model olduğundan ACF grafiği 2. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin durağanlık durumunu değerlendirme
Model bir MA(2) sürecidir ve tüm sonlu MA süreçleri parametre değerlerinden bağımsız olarak durağandır.
MA modelleri beyaz gürültü terimlerinin sonlu ağırlıklı toplamı olduğu için teorik olarak her zaman durağanlık koşulunu sağlar.
2
Tersinirlik (invertibility) şartını kontrol etmek için karakteristik denklemi oluşturma ve kökleri bulma
Karakteristik denklem θ(B)=1−2.5B+B2=0\theta(B) = 1 - 2.5B + B^2 = 0 şeklindedir. B2−2.5B+1=0B^2 - 2.5B + 1 = 0 denkleminin kökleri hesaplandığında B1=2B_1 = 2 ve B2=0.5B_2 = 0.5 olarak bulunur.
Tersinirlik için MA karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında olması) gerekir.
3
Köklerin konumuna göre tersinirlik sonucuna varma
B2=0.5B_2 = 0.5 kökünün mutlak değeri 1'den küçük olduğundan birim çemberin içindedir, bu nedenle model tersinir değildir.
Köklerden en az biri birim çemberin içindeyse tersinirlik şartı ihlal edilmiş olur.
4
Teorik otokorelasyon yapısını (ACF ve PACF) belirleme
MA(2) modeli olduğu için ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir, PACF grafiği ise gecikmeler arttıkça sıfıra doğru sönümlenir.
MA(q) süreçlerinin kuramsal özelliği olarak otokorelasyon fonksiyonu q. gecikmede kesilirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu kademeli sönümlenme gösterir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Otokorelasyon Yapısı
Bu soruyu puanla

Konular

Hareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru