Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bir finansal zaman serisi analizinde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinde sadece ilk iki gecikmenin istatistiksel olarak sıfırdan farklı olduğu ve ardından aniden kesildiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinde ise katsayıların sinüs dalgaları şeklinde sönümlenerek azaldığı gözlemlenmiştir.

Bu bulgular ışığında, serinin dinamiklerini yansıtmak üzere Yt=μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2} (burada εt∼WN(0,σ2)\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)) modeli kurulmuştur.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin teorik yapısı dikkate alındığında, sürecin durağanlık durumu ve tersinirliği (invertibility) hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Süreç yapısal olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir olabilmesi için 1−θ1B−θ2B2=01 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0 karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması şarttır.Cevap
  2. B
    ACF grafiği aniden kesildiği için süreç AR(2) modelidir; durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekirken, tersinirlik koşulu kendiliğinden sağlanır.
  3. C
    Model yapısı gereği her durumda tersinirdir; fakat sürecin durağan olabilmesi için θ1\theta_1 ve θ2\theta_2 parametrelerinin mutlak değer kısıtlarını (∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 vb.) eş anlı olarak sağlaması zorunludur.
  4. D
    Sürecin durağanlığından söz edebilmek için seriye mutlaka birinci dereceden fark alma işleminin uygulanması gerekir; tersinirlik ise hata varyansı sabit kaldığı sürece geçerlidir.
  5. E
    Hem ACF'nin hem de PACF'nin davranışları sürecin ARMA(1,2) olduğuna işaret eder; bu nedenle durağanlık ve tersinirlik koşulları hata terimlerinin dağılım parametreleriyle birlikte değerlendirilmelidir.

Cevap

Süreç yapısal olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir olabilmesi için 1−θ1B−θ2B2=01 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0 karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması şarttır.
Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) belirli bir gecikmeden sonra aniden sıfır olması ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) sönümlenerek azalması Hareketli Ortalama (MA) modellerinin temel ayırıcı özelliğidir. Bir MA süreci, sonlu sayıdaki beyaz gürültü teriminin kombinasyonu olduğu için parametrelerinden bağımsız olarak her zaman koşulsuz durağandır. Ancak, MA sürecinin güncel gözlemlerinin, geçmiş gözlemlerin ağırlıklandırılmış bir toplamı (AR(∞)) şeklinde ifade edilebilmesi anlamına gelen tersinirlik (invertibility) durumu her zaman geçerli değildir. Modelin tersinir olabilmesi için, modelin 1−θ1B−θ2B2=01 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0 şeklinde yazılan karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değer olarak 1'den büyük olması, diğer bir ifadeyle birim çemberin dışında yer alması gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarını Box-Jenkins kurallarına göre analiz etmek.
ACF'nin 2. gecikmede aniden kesilmesi ve PACF'nin sönümlenerek azalması, serinin MA(2) sürecine uygun olduğunu doğrular.
Teorik olarak MA(q) modellerinde otokorelasyon fonksiyonu q gecikmeden sonra sıfıra düşerken, kısmi otokorelasyon sönümlenir.
2
MA(2) modelinin durağanlık koşulunu değerlendirmek.
MA modelleri, sonlu sayıdaki sabit varyanslı hata teriminin toplamından oluştuğu için katsayı değerlerinden bağımsız olarak her koşulda durağandır.
Bir zaman serisinin beklenen değeri ve varyansı zamana bağlı olarak değişmiyorsa seri durağandır.
3
MA(2) modelinin tersinirlik (invertibility) koşulunu değerlendirmek.
Modelin tersinir olabilmesi (sonsuz AR süreci olarak ifade edilebilmesi) için karakteristik denklem kökleri birim çemberin dışında kalmalıdır.
Geçmiş şokların sisteme etkisinin zamanla azalarak yok olması için, θ(B)\theta(B) polinomunun köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik
Bu soruyu puanla

Konular

Hareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru