Bir finansal analist, bir varlığın günlük logaritmik getiri serisini, \varepsilon_t \sim W… — KPSS İstatistik

Bir finansal analist, bir varlığın günlük logaritmik getiri serisini, $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ beyaz gürültü süreci olmak üzere;

Y_t = 0.02 + \varepsilon_t - 1.3 \varepsilon_{t-1} + 0.4 \varepsilon_{t-2}

şeklinde ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), süreci olarak modellemiştir.

Bu modelin teorik özellikleri ve tanımlayıcı grafikleri (ACF/PACF) hakkında yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Süreç, doğası gereği yapısal olarak durağandır ve karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında yer aldığı için tersinirlik (invertibility) koşulunu da sağlamaktadır.Cevap
B
Sürecin durağan olabilmesi için karakteristik denklem köklerinin mutlak değerce 1'den küçük olması gerekir; bu koşul sağlanmadığı için analizden önce serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.
C
Modelin teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra keser.
D
Süreç durağan olmasına karşın, birinci gecikme katsayısının mutlak değeri 1'den büyük ( $|-1.3| > 1$ ) olduğu için tersinirlik koşulu ihlal edilmiştir ve sonsuz dereceden bir AR modeline dönüştürülemez.
E
Modelin durağanlık ve tersinirlik koşullarını eşzamanlı olarak sağlaması nedeniyle, serinin hem ACF hem de PACF grafikleri 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerek kesilme (cut-off) eğilimi gösterir.

Cevap

Süreç bir MA(2) modeli olduğundan yapısal olarak durağandır ve karakteristik denklem kökleri hesaplandığında (1.25 ve 2) birim çemberin dışında yer aldığı görüldüğü için aynı zamanda tersinirdir.

Verilen model ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), sürecidir. MA(q) süreçleri, beyaz gürültü terimlerinin sonlu sayıdaki doğrusal birleşimi oldukları için parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman yapısal olarak durağandır. Bir MA(q) sürecinin tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik denkleminin (

\theta(B) = 1 - 1.3B + 0.4B^2 = 0

) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında yer alması) gerekir. Denklemin kökleri hesaplandığında

B_1 = 1.25

B_2 = 2

bulunur. Her iki kök de 1'den büyük olduğu için model tersinirlik koşulunu da sağlamaktadır. Bu nedenle süreç doğası gereği durağan, kök yapısı gereği tersinirdir.

Adım Adım Çözüm

Modelin türünü ve durağanlık durumunu belirleme

Verilen denklem geçmiş hata terimlerini içerdiğinden ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), sürecidir. MA süreçleri sonlu varyanslı hata terimlerinin toplamı olduğu için her zaman durağandır.

Zaman serisi bileşenlerinin yapısına göre model durağanlık şartlarının temel teorisinin hatırlanması gerekir.

Tersinirlik (invertibility) için karakteristik denklemi oluşturma

Hareketli ortalama polinomu kullanılarak karakteristik denklem

\theta(B) = 1 - 1.3B + 0.4B^2 = 0

şeklinde yazılır.

Bir MA sürecinin sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için bu polinomun köklerinin incelenmesi zorunludur.

Karakteristik denklemin köklerini hesaplama

0.4B^2 - 1.3B + 1 = 0

denkleminin kökleri çözüldüğünde

B_1 = 1.25

B_2 = 2

olarak bulunur.

Tersinirlik şartının sağlanması için hesaplanan tüm köklerin mutlak değerinin 1'den büyük olması (köklerin birim çemberin dışında kalması) gerekir. Her iki kök de 1'den büyük olduğu için süreç tersinirdir.

ACF ve PACF grafiklerinin teorik davranışını tanımlama

Model bir MA(2) süreci olduğu için teorik olarak Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) 2. gecikmede kesilir (cuts off), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ise asimptotik olarak sönümlenir.

MA ve AR modellerini birbirinden ayırmak için tanımlayıcı istatistiksel grafiklerin (korelogram) imzalarının bilinmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve ACF/PACF Davranışları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru