Bir halk sağlığı uzmanı, salgının başlangıcından itibaren geçen hafta sayısı (X_i) ile lab… — KPSS İstatistik

Bir halk sağlığı uzmanı, salgının başlangıcından itibaren geçen hafta sayısı ( $X_i$ ) ile laboratuvarca doğrulanan haftalık yeni vaka sayısı ( $Y_i$ ) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Vaka sayılarının zaman içinde üstel bir büyüme sergilediği hipotezinden yola çıkan uzman, aşağıdaki iki farklı ekonometrik modeli kurmuştur:

Model I: $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} u_i$
Model II: $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} + v_i$

Uzman, Model I'in her iki tarafının doğal logaritmasını alarak $\ln Y_i = \ln \beta_0 + \beta_1 X_i + \ln u_i$ şeklinde doğrusallaştırmış ve En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin yapmıştır. Yapılan analiz sonucunda $\hat{\beta}_1$ katsayısı $0,25$ olarak bulunmuştur.

Bu modelleme süreci ve elde edilen katsayının yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Model I'in dönüştürülmüş formundan hesaplanan $R^2$ değeri, hangi fonksiyonel formun veriye daha uygun olduğunu belirlemek için doğrudan $Y_i = \alpha_0 + \alpha_1 X_i + \varepsilon_i$ şeklindeki doğrusal modelin $R^2$ değeriyle kıyaslanmalıdır.
B
Tahmin edilen $\hat{\beta}_1 = 0,25$ katsayısı, geçen hafta sayısındaki ( $X_i$ ) $1$ birimlik artışın, yeni vaka sayısında ( $Y_i$ ) her zaman sabit ve mutlak olarak $0,25$ birimlik bir artışa yol açacağını gösterir.
Model I, hata teriminin çarpımsal olması nedeniyle özünde doğrusal (intrinsically linear) bir yapıdayken Model II özünde doğrusal değildir; ve Model I'e göre geçen her bir hafta vaka sayısında tam olarak $\%(e^{0,25} - 1) \times 100$ oranında bir artış yaratmaktadır.Cevap
D
Yarı logaritmik formda dönüştürülen Model I'de bulunan $\hat{\beta}_1 = 0,25$ katsayısı sabit bir esnekliği ifade eder; dolayısıyla hafta sayısındaki $\%1$ 'lik bir artış vaka sayısını $\%0,25$ oranında artırır.
E
Üstel büyüme modellerinde bağımlı değişken dönüştürüldüğü için $\hat{\beta}_1$ katsayısının bireysel istatistiksel anlamlılığı t-testi ile test edilemez, bunun yerine genel varyans analizi tablosundaki F-testi kullanılmalıdır.

Cevap

Model I'in hata teriminin çarpımsal olması sebebiyle özünde doğrusal olduğu, Model II'nin ise özünde doğrusal olmadığı ve log-lin modellerde bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişken üzerinde tam olarak

(e^{0,25} - 1) \times 100

oranında yüzdesel bir etki yarattığını belirten ifade.

Doğru seçenek, üstel ekonometrik modellerle ilgili iki kritik ayrımı eksiksiz bir şekilde içermektedir. Birincisi; üstel bir büyüme modelinin EKK ile tahmin edilebilmesi için doğrusallaştırılabilmesi, bunun için de hata teriminin ana modele çarpımsal olarak (

u_i

) girmesi gerekir. Toplamsal hata terimi (

+ v_i

) içeren modeller logaritma dönüşümüyle doğrusal formata getirilemez ve bu modeller 'özünde doğrusal olmayan' (intrinsically non-linear) modeller olarak sınıflandırılır. İkincisi; bağımlı değişkeni logaritmik, bağımsız değişkeni doğrusal olan (log-lin) regresyon formunda, bağımsız değişkendeki 1 birimlik değişimin bağımlı değişken (

Y

) üzerindeki net yüzdesel artış etkisi her zaman

(e^{\beta_1} - 1) \times 100

formülü ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

Model I ve Model II'nin yapısal formlarını inceleyerek doğrusallaştırılabilme (özünde doğrusal olma) durumlarını değerlendirmek.

Model I çarpımsal hata terimi (

u_i

) içerdiği için doğal logaritması alınarak doğrusal bir modele (

\ln Y_i = \ln \beta_0 + \beta_1 X_i + \ln u_i

) dönüştürülebilir. Model II ise toplamsal hata terimi (

+ v_i

) içerdiği için bu şekilde doğrusallaştırılamaz.

EKK yönteminin standart formda uygulanabilmesi için modelin parametreleri açısından doğrusal olması veya uygun bir matematiksel dönüşümle doğrusal hale getirilebilmesi (intrinsically linear) şarttır.

Yarı logaritmik (log-lin) dönüştürülmüş modeldeki eğim katsayısının (

\hat{\beta}_1 = 0,25

) bağımlı değişken (

Y

) üzerindeki gerçek etkisini hesaplamak.

Katsayı pozitif olduğunda, X'teki 1 birimlik artışın Y üzerindeki tam oransal (yüzde) etkisi

(e^{\hat{\beta}_1} - 1) \times 100

formülüyle hesaplanır. Model I için bu değer

(e^{0,25} - 1) \times 100

şeklindedir.

Üstel (yarı logaritmik) modellerde, bağımsız değişkendeki değişimin etkisi mutlak değil oransaldır. Özellikle katsayı değeri büyük olduğunda (

\beta_1 > 0,05

), tam yüzde değişim formülünün kullanılması matematiksel bir gerekliliktir.

Anahtar Kavram

Üstel Regresyon Modellerinde Doğrusallaştırma (Özünde Doğrusallık) ve Katsayı Yorumu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru