Üstel Regresyon Modelleri

Bir iktisatçı, bir ülkedeki teknolojik gelişimin çıktı miktarı üzerindeki etkisini incelemek amacıyla $Y_t = e^{\beta_0 + \beta_1 t + u_t}$ biçimindeki üstel regresyon modelini kullanmaktadır. Modelin logaritması alınarak yapılan En Küçük Kareler (EKK) tahmini sonucunda elde edilen regresyon denklemi şu şekildedir:

($e^{0,08} \approx 1,0833$ olduğu varsayılmaktadır.)

Bu tahmin sonuçlarına göre, zaman ($t$) bir birim arttığında çıktı miktarında ($Y$) meydana gelecek değişim ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir ekonomist, bir ülkenin yıllık nüfus artışını incelemek amacıyla $Y_t = \beta_0 e^{\beta_1 t} v_t$ biçiminde bir üstel regresyon modeli kurmuştur. Burada $Y_t$ ilgili yıldaki nüfusu, $t$ zamanı (yıl) ve $v_t$ ise çarpımsal hata terimini ifade etmektedir. Bu modelin yapısı ve katsayılarının yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumundaki dijitalleşme süreci kapsamında aylık üretilen dijital belge sayısı ($Y$) ile zaman ($X$, ay) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} u_i$ biçiminde bir üstel regresyon modeli kurulmuştur. Yapılan analizde, değişkenler logaritmik dönüşümle doğrusal hale getirilmiş ve eğim katsayısı $\hat{\beta}_1 = 0,06$ olarak tahmin edilmiştir. ($e^{0,06} \approx 1,0618$)

Buna göre, tahmin edilen bu modelin yapısı ve katsayının yorumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumunun teknoloji merkezi, kurumsal portalın aylık tekil ziyaretçi sayısındaki ($Y$) artış eğilimini zamana ($t$, ay) bağlı olarak analiz etmek amacıyla $Y_t = \beta_0 e^{\beta_1 t} u_t$ biçiminde bir üstel regresyon modeli tahmin etmiştir. Yapılan analiz sonucunda eğim katsayısı $\hat{\beta_1} = 0,06$ olarak hesaplanmıştır. ($e^{0,06} \approx 1,0618$)

Buna göre, tahmin edilen bu model ve katsayılar hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumu araştırmacısı, Türkiye'deki e-Devlet hizmetlerinden biri olan "Dijital Vergi Dairesi" uygulamasının aylık aktif kullanıcı sayısındaki ($Y$) büyüme dinamiğini, zaman ($t$, ay) ve kurumsal tanıtım harcamaları ($X_t$, bin TL) değişkenlerine bağlı olarak modellemek istemektedir.

Araştırmacı, sürecin doğası gereği büyümenin üstel olabileceğini düşünerek aşağıdaki iki farklı teorik modeli önermiştir:
Model 1: $Y_t = \beta_0 e^{\beta_1 t + \beta_2 X_t} u_t$
Model 2: $Y_t = \alpha_0 e^{\alpha_1 t + \alpha_2 X_t} + v_t$

Araştırmacı, Model 1'i uygun bir matematiksel dönüşümle En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilebilir hale getirmiş ve aşağıdaki tahmini regresyon denklemini elde etmiştir:
$\widehat{\ln(Y_t)} = 12.5 + 0.04t + 0.02X_t$

Bu iki modelin teorik yapıları (içsel doğrusal olup olmamaları, hata terimlerinin yapısı) ve elde edilen katsayıların yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel ve ekonometrik açıdan tamamen doğrudur?

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişken $X$ arasındaki ilişkiyi $\ln Y = \beta_0 + \beta_1 X + u$ şeklinde bir üstel (log-lin) regresyon modeli ile tahmin etmiştir. Bu modelde yer alan $\beta_1$ eğim katsayısı aşağıdakilerden hangisini ifade etmektedir?

Bir iktisatçı, bir ülkedeki yıllık toplam elektrik enerjisi tüketimindeki ($Y$, GWh) artış eğilimini zamana ($t$, yıl) bağlı olarak analiz etmek amacıyla $Y_t = \beta_0 e^{\beta_1 t} u_t$ biçimindeki üstel regresyon modelini kurmuştur. Modelin her iki yanının doğal logaritması ($\ln$) alınarak yapılan tahmin sonucunda eğim katsayısı $\hat{\beta_1} = 0,06$ olarak bulunmuştur. Bu modele ve katsayıların yorumlanmasına ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir orman mühendisi, belirli bir bölgedeki toplam ağaç sayısının ($Y$) zaman ($t$, yıl) içerisindeki gelişimini incelemek amacıyla aşağıdaki üstel (yarı logaritmik) regresyon modelini tahmin etmiştir:

Buna göre, zaman ($t$) değişkenindeki bir yıllık artışın ağaç sayısı ($Y$) üzerindeki etkisiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir şehir bölge plancısı, bir metropolde şehir merkezinden uzaklaştıkça nüfus yoğunluğunun nasıl değiştiğini incelemektedir. Araştırmacı, nüfus yoğunluğu ($Y$, kişi/km $^2$) ile şehir merkezine olan uzaklık ($X$, km) arasındaki ilişkiyi modellemek için hata teriminin ($u$) çarpımsal olarak yer aldığı $Y = \beta_0 e^{\beta_1 X} e^u$ üstel regresyon modelini kurmuştur.

EKK yöntemiyle tahmin yapabilmek için denklemin her iki tarafının doğal logaritması alınarak $\ln(Y) = \alpha + \beta_1 X + u$ doğrusal modeli (burada $\alpha = \ln(\beta_0)$) elde edilmiştir. Yapılan analiz sonucunda uzaklık değişkeninin katsayısı $\hat{\beta}_1 = -0,08$ olarak bulunmuştur.

Bu modelin spesifikasyonu ve tahmin edilen katsayının yorumu dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir Hazine ve Maliye Bakanlığı uzmanı, Türkiye'nin aylık dış borç servis tutarının ($Y_t$) gelişimini zaman ($t$, ay) ve küresel risk iştahı endeksi ($X_t$) değişkenleriyle açıklamak için aşağıdaki asıl fonksiyonel formu önermiştir:

Uzman, hata teriminin çarpımsal olarak modele girmesi nedeniyle bu formun içsel olarak doğrusal (intrinsically linear) olduğunu tespit etmiş, denklemin doğal logaritmasını alarak $\ln(Y_t) = \beta_0 + \beta_1 t + \beta_2 X_t + u_t$ şeklinde üstel (log-lin) bir regresyon modeli kurmuştur.

EKK ile yapılan tahmin sonucunda, zaman değişkeninin katsayısı $\hat{\beta}_1 = 0.045$ bulunmuş ve istatistiksel olarak anlamlı olduğu görülmüştür. Ayrıca uzman, aynı bağımsız değişkenlerle bağımlı değişkenin doğal logaritmasının alınmadığı doğrusal bir model ($Y_t = \theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 X_t + v_t$) de tahmin etmiş ve her iki modelin belirtme katsayılarını ($R^2$) kaydetmiştir.

Bu analiz süreci ve model sonuçlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir halk sağlığı uzmanı, salgının başlangıcından itibaren geçen hafta sayısı ($X_i$) ile laboratuvarca doğrulanan haftalık yeni vaka sayısı ($Y_i$) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Vaka sayılarının zaman içinde üstel bir büyüme sergilediği hipotezinden yola çıkan uzman, aşağıdaki iki farklı ekonometrik modeli kurmuştur:

Model I: $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} u_i$
Model II: $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} + v_i$

Uzman, Model I'in her iki tarafının doğal logaritmasını alarak $\ln Y_i = \ln \beta_0 + \beta_1 X_i + \ln u_i$ şeklinde doğrusallaştırmış ve En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin yapmıştır. Yapılan analiz sonucunda $\hat{\beta}_1$ katsayısı $0,25$ olarak bulunmuştur.

Bu modelleme süreci ve elde edilen katsayının yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı uzmanı, illerdeki yüksek teknoloji ihracat hacmini ($Y_i$, milyon dolar), Ar-Ge merkezi sayısı ($X_{1i}$) ve doğrudan yabancı yatırım tutarı ($X_{2i}$, milyon dolar) ile modellemek için iki farklı çoklu üstel fonksiyon önermiştir:

Model I: $Y_i = \beta_0 \cdot e^{\beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i}} \cdot e^{u_i}$
Model II: $Y_i = \beta_0 \cdot e^{\beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i}} + u_i$

Uzman, Model I'i logaritmik dönüşüm uygulayarak $\ln(Y_i) = \alpha_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i$ şeklinde doğrusallaştırmış ve EKK yöntemiyle $\hat{\beta}_1 = 0.15$ olarak tahmin etmiştir.

Bu modelleme süreci ve $\hat{\beta}_1$ katsayısının yorumu dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?