Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir çağrı merkezinde müşteri temsilcisi olarak çalışan personelin, başarılı bir satış gerçekleştirmesi olasılığı pp ile gösterilmektedir (0<p<10 < p < 1). Her bir personelin gerçekleştirdiği aramalar bağımsızdır ve her aramanın başarılı satışla sonuçlanma olasılığı aynıdır.

Bir personelin tam olarak 3. başarılı satışını gerçekleştirmesi için yapması gereken toplam arama sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
f(x;p)=(x−12)p3(1−p)x−3,x=3,4,5,…f(x; p) = \binom{x-1}{2} p^3 (1-p)^{x-3}, \quad x = 3, 4, 5, \dots

Bu çağrı merkezinden nn personelin tam olarak 3. satışını yapana kadar gerçekleştirdikleri toplam arama sayıları gözlemlenmiş ve X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi elde edilmiştir.

Buna göre, bir personelin 3. satışını yapana kadar gerçekleştirdiği arama sayısının varyansı için oluşturulacak herhangi bir yansız tahmin edicinin Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3(1−p)np2\frac{3(1-p)}{n p^2}
  2. B
    3(2−p)2(1−p)p4\frac{3(2-p)^2(1-p)}{p^4}
  3. C
    p2(1−p)3n\frac{p^2(1-p)}{3n}
  4. 3(2−p)2(1−p)np4\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}Cevap
  5. E
    3(2−p)2np4\frac{3(2-p)^2}{n p^4}

Cevap

İstenilen varyans fonksiyonunun Cramer-Rao alt sınırı 3(2−p)2(1−p)np4\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4} ifadesine eşittir.
Cramer-Rao alt sınırı (CRLB), bir parametrenin fonksiyonu olan τ(p)\tau(p) için [τ′(p)]2n⋅I(p)\frac{[\tau'(p)]^2}{n \cdot I(p)} formülü ile hesaplanır. Soruda τ(p)\tau(p), XX değişkeninin varyansı olarak verilmiştir. Negatif Binom dağılımına uyan (3 başarı için beklenen arama) XX için varyans τ(p)=3(1−p)p2\tau(p) = \frac{3(1-p)}{p^2}'dir. Bu fonksiyonun türevinin karesi [τ′(p)]2=9(2−p)2p6[\tau'(p)]^2 = \frac{9(2-p)^2}{p^6} olarak bulunur. Öte yandan tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı I(p)=−E[∂2ln⁡f∂p2]=3p2(1−p)I(p) = -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2}\right] = \frac{3}{p^2(1-p)} şeklindedir. Formülde bu iki değer yerine yazıldığında doğru sonuç 3(2−p)2(1−p)np4\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun doğal logaritmasını almak.
ln⁡f(x;p)=ln⁡(x−12)+3ln⁡p+(x−3)ln⁡(1−p)\ln f(x; p) = \ln \binom{x-1}{2} + 3\ln p + (x-3)\ln(1-p)
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun pp'ye göre türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun pp'ye göre birinci ve ikinci türevlerini almak.
∂ln⁡f∂p=3p−x−31−p\frac{\partial \ln f}{\partial p} = \frac{3}{p} - \frac{x-3}{1-p} ve ∂2ln⁡f∂p2=−3p2−x−3(1−p)2\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2} = -\frac{3}{p^2} - \frac{x-3}{(1-p)^2}
Fisher bilgi miktarı, ikinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisine eşittir.
3
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (I(p)I(p)) hesaplamak.
I(p)=−E[−3p2−X−3(1−p)2]=3p2+E[X]−3(1−p)2I(p) = -E\left[ -\frac{3}{p^2} - \frac{X-3}{(1-p)^2} \right] = \frac{3}{p^2} + \frac{E[X]-3}{(1-p)^2}. Burada E[X]=3pE[X] = \frac{3}{p} yerine yazılırsa I(p)=3p2+3p−3(1−p)2=3p2(1−p)I(p) = \frac{3}{p^2} + \frac{\frac{3}{p}-3}{(1-p)^2} = \frac{3}{p^2(1-p)} bulunur.
nn hacimli örneklemin toplam bilgi miktarını (n⋅I(p)n \cdot I(p)) bulmak için öncelikle tek gözlemin bilgi miktarı bulunmalıdır.
4
Tahmin edilecek τ(p)\tau(p) fonksiyonunun pp'ye göre türevini hesaplamak.
Soruda varyans istenmektedir. Negatif Binom dağılımı için varyans τ(p)=3(1−p)p2=3p−2−3p−1\tau(p) = \frac{3(1-p)}{p^2} = 3p^{-2} - 3p^{-1} şeklindedir. Türevi τ′(p)=−6p−3+3p−2=3p−6p3=−3(2−p)p3\tau'(p) = -6p^{-3} + 3p^{-2} = \frac{3p-6}{p^3} = -\frac{3(2-p)}{p^3} olur. Karesi alınırsa [τ′(p)]2=9(2−p)2p6[\tau'(p)]^2 = \frac{9(2-p)^2}{p^6} elde edilir.
Cramer-Rao alt sınırı formülünün pay kısmında, tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesi yer alır.
5
Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) oluşturmak.
CRLB = [τ′(p)]2n⋅I(p)=9(2−p)2p6n⋅3p2(1−p)=3(2−p)2(1−p)np4\frac{[\tau'(p)]^2}{n \cdot I(p)} = \frac{\frac{9(2-p)^2}{p^6}}{n \cdot \frac{3}{p^2(1-p)}} = \frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4} hesaplanır.
Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği minimum değer (alt sınır) sonuca ulaştırılır.

Anahtar Kavram

Bir parametrenin fonksiyonunun (τ(θ)\tau(\theta)) Cramer-Rao Alt Sınırının hesaplanması ve Fisher Bilgi Miktarı.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru