Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
olarak verilen kitleye ait nn çaplı rastgele bir örneklem olsun.

Buna göre, θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir? (θ>0\theta > 0)

  1. θ2n\frac{\theta^2}{n}Cevap
  2. B
    nθ2\frac{n}{\theta^2}
  3. C
    θ2\theta^2
  4. D
    1nθ2\frac{1}{n\theta^2}
  5. E
    θn\frac{\theta}{n}

Cevap

θ2n\frac{\theta^2}{n} ifadesi θ\theta parametresinin yansız tahmin edicisi için doğru Cramer-Rao alt sınırıdır.
Cramer-Rao alt sınırı, yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği minimum varyansı ifade eder ve formülü 1/[−nE(∂2ln⁡f∂θ2)]1 / [-n E(\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2})] şeklindedir. İkinci türev −1/θ2-1/\theta^2 olduğuna göre, payda n/θ2n/\theta^2 olur ve ters çevrildiğinde sonuç θ2/n\theta^2/n olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu yazın.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (\theta - 1)\ln x
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için öncelikle yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasına ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevini alın.
Birinci türev: ∂∂θln⁡f(x;θ)=1θ+ln⁡x\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} + \ln x. İkinci türev: ∂2∂θ2ln⁡f(x;θ)=−1θ2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(x; \theta) = -\frac{1}{\theta^2}.
İkinci türevin beklenen değeri, Fisher bilgi miktarını bulmanın en pratik yoludur.
3
Tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesaplayın.
I(θ)=−E[∂2∂θ2ln⁡f(x;θ)]=−E[−1θ2]=1θ2I(\theta) = -E\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(x; \theta)\right] = -E\left[-\frac{1}{\theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2}
Fisher bilgi miktarı, eksi ikinci türevin beklenen değeridir ve bu soruda terim sabit olduğundan beklenen değer kendisine eşittir.
4
nn çaplı örneklem için toplam Fisher Bilgi miktarını bulun ve Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) hesaplayın.
In(θ)=n⋅I(θ)=nθ2I_n(\theta) = n \cdot I(\theta) = \frac{n}{\theta^2}. Yansız bir tahmin edici için CRLB=1In(θ)=θ2nCRLB = \frac{1}{I_n(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}
Bağımsız ve aynı dağılımlı nn gözlem için bilgi miktarı nn ile çarpılır; alt sınır ise toplam bilginin çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru