Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, varyansı 11 olan normal dağılımdan (N(μ,1)N(\mu, 1)) alınmış bir rastgele örneklemi göstermek üzere, kitle ortalamasının karesi olan μ2\mu^2 parametresi tahmin edilmek istenmektedir.

Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bulunacak μ2\mu^2 için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Xˉ2\bar{X}^2
  2. B
    Xˉ2+1n\bar{X}^2 + \frac{1}{n}
  3. C
    1n∑i=1nXi2−1\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 1
  4. Xˉ2−1n\bar{X}^2 - \frac{1}{n}Cevap
  5. E
    Xˉ2−1\bar{X}^2 - 1

Cevap

Xˉ2−1n\bar{X}^2 - \frac{1}{n} ifadesi, μ2\mu^2 için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).
Doğru tahmin edici Xˉ2−1n\bar{X}^2 - \frac{1}{n} olmalıdır. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametre için UMVUE, o parametrenin tam ve yeterli istatistiğinin yansız bir fonksiyonu olmalıdır. Normal dağılımda μ\mu için tam ve yeterli istatistik Xˉ\bar{X}'tir. Var(Xˉ)=E[Xˉ2]−(E[Xˉ])2Var(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2 bağıntısından 1n=E[Xˉ2]−μ2\frac{1}{n} = E[\bar{X}^2] - \mu^2 eşitliği yazılır. Düzenlendiğinde E[Xˉ2−1n]=μ2E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2 olduğu görülür. Tam ve yeterli istatistiğin yansız fonksiyonu UMVUE olduğundan doğru yanıt budur.

Adım Adım Çözüm

1
Parametre için tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistiği belirlemek.
Bilinen varyanslı normal dağılımda (N(μ,1)N(\mu, 1)), örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}, kitle ortalaması μ\mu için tam ve yeterli istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre; bir parametre için UMVUE arıyorsak, bu tahmin edici tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.
2
Tam ve yeterli istatistiğin momentlerini (Xˉ\bar{X}'in beklenen değerini ve varyansını) yazmak.
E[Xˉ]=μE[\bar{X}] = \mu ve Var(Xˉ)=σ2n=1nVar(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{n} bulunur.
μ2\mu^2 parametresine ulaşacak yansız bir fonksiyon kurgulayabilmek için Xˉ\bar{X}'in özelliklerine ihtiyacımız vardır.
3
Xˉ2\bar{X}^2'nin beklenen değerini hesaplamak.
Varyans formülünden yola çıkarak: E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=1n+μ2E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{1}{n} + \mu^2 eşitliği elde edilir.
μ2\mu^2'yi tahmin edecek istatistiğin yansızlık (unbiasedness) düzeltmesi için bu eşitlikteki sapma miktarı belirlenmelidir.
4
Eşitliği düzenleyerek μ2\mu^2 için yansız tahmin ediciyi (UMVUE) oluşturmak.
E[Xˉ2−1n]=μ2E[\bar{X}^2 - \frac{1}{n}] = \mu^2 sonucuna ulaşılır. Xˉ2−1n\bar{X}^2 - \frac{1}{n}, tam ve yeterli istatistik olan Xˉ\bar{X}'in bir fonksiyonu olduğu için Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'dir.
Teorem gereği, tam ve yeterli istatistiğe dayalı yansız bir tahmin edici tek (unique) olup, diğer tüm yansız tahmin edicilerden daha küçük veya onlara eşit varyansa sahiptir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olarak ifade edilebilen yansız tahmin edicinin, söz konusu parametre için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) olduğunu ifade eder.
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru