Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İstatistiksel analizlerde iki sürekli rastgele değişken olan XX ve YY'nin bağımsızlığını incelemeden önce, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (f(x,y)f(x,y)) tanımlı olduğu bölgeye (destek kümesine) bakılır. Bağımsızlık için en temel geometrik şart, değişkenlerin sınırlarının birbirinden etkilenmemesi (dikdörtgensel bölge olması) durumudur. Buna göre, aşağıdaki bölgelerden hangisinde tanımlı olan XX ve YY değişkenlerinin bağımsız olması matematiksel olarak mümkün değildir?

  1. A
    0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1
  2. B
    x>0x > 0 ve y>0y > 0
  3. x2+y2≤4x^2 + y^2 \leq 4Cevap
  4. D
    −1<x<1-1 < x < 1 ve −5<y<5-5 < y < 5
  5. E
    10<x<2010 < x < 20 ve 30<y<4030 < y < 40

Cevap

Daire bölgesi olan x2+y2≤4x^2 + y^2 \leq 4 ifadesi, değişkenlerin sınırlarını birbirine bağımlı kıldığı için bağımsızlık mümkün değildir.
Doğru cevap olan daire bölgesinde (x2+y2≤4x^2 + y^2 \leq 4), xx ve yy değişkenlerinin sınırları birbirine denklemsel olarak bağlıdır. Bağımsızlık için xx'in sınırlarının yy'den, yy'nin sınırlarının da xx'ten tamamen bağımsız (sabit değerli) olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Destek kümesi (support) kavramını analiz etme
Bağımsızlık için ortak PDF'in f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) şeklinde ayrılabilmesi gerekir.
Bu ayrışmanın ön koşulu, destek kümesinin bir kartezyen çarpım (SX×SYS_X \times S_Y) yani geometrik olarak bir dikdörtgen olmasıdır.
2
Daire bölgesinin sınırlarını inceleme
x2+y2≤4x^2 + y^2 \leq 4 bölgesi için xx sınırları −4−y2≤x≤4−y2-\sqrt{4-y^2} \leq x \leq \sqrt{4-y^2} şeklindedir.
xx'in alabileceği değerler kümesi doğrudan yy'nin değerine bağlıdır. Bu durum değişkenler arasında en baştan bir ilişki (bağımlılık) oluşturur.
3
Diğer seçeneklerle karşılaştırma
Diğer tüm seçenekler (A,B,D,EA, B, D, E) birer dikdörtgensel bölgedir.
Dikdörtgensel bölgelerde bir değişkenin sınırları diğerinden bağımsız sabit sayılar veya bağımsız aralıklardır.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişken bağımsız ise, bunların ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (support) mutlaka bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım) olmalıdır. Eğer bölge üçgen, daire veya elips gibi 'sınırları birbirine bağlı' bir şekil ise değişkenler mutlaka bağımlıdır.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı