Üç adet finansal gösterge (X_1, X_2, X_3) için hesaplanan örneklem kovaryans matrisi üzeri… — KPSS İstatistik

Üç adet finansal gösterge (

X_1, X_2, X_3

) için hesaplanan örneklem kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda en büyük özdeğer

\lambda_1 = 18

olarak bulunmuş ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşenin katsayılar vektörü (özvektörü)

\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ c \end{bmatrix}

olarak elde edilmiştir.

Bir analist, orijinal değişkenleri kullanarak $Z = 3(e_{11}X_1 + e_{12}X_2 + e_{13}X_3)$ şeklinde yeni bir doğrusal kombinasyon tanımlamıştır.

TBA varsayımları gereği temel bileşen katsayıları vektörünün normunun (uzunluğunun) 1 olduğu ve $c > 0$ olduğu bilindiğine göre; $c$ katsayısının değeri ve $Z$ değişkeninin varyansı ( $Var(Z)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$c = \frac{2}{3}$ ve $Var(Z) = 162$ Cevap
B
$c = \frac{2}{3}$ ve $Var(Z) = 54$
C
$c = \frac{2}{3}$ ve $Var(Z) = 18$
D
$c = 0$ ve $Var(Z) = 162$
E
$c = 0$ ve $Var(Z) = 54$

Cevap

Doğru değerler

c = \frac{2}{3}

Var(Z) = 162

'dir.

Temel Bileşenler Analizinde özvektörlerin normu (kareleri toplamı) 1'dir. Buna göre

(2/3)^2 + (1/3)^2 + c^2 = 1

denkleminden

c = 2/3

bulunur. Birinci temel bileşen

Y_1

'in varyansı özdeğeri olan 18'e eşittir.

Z

değişkeni, ilk temel bileşenin 3 katı olarak tanımlanmıştır (

Z = 3Y_1

). Varyans operatörü kuralı gereği

Var(aX) = a^2Var(X)

olduğundan,

Var(Z) = 3^2 \cdot 18 = 9 \cdot 18 = 162

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Özvektörün norm (uzunluk) kuralını uygulayarak

c

değerini bulun.

(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + c^2 = 1 \implies \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + c^2 = 1 \implies \frac{5}{9} + c^2 = 1

TBA'da temel bileşen katsayılarını içeren özvektörlerin uzunluğu (normu) 1 olacak şekilde standartlaştırılır.

c

değerini hesaplayın.

c^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \implies c = \frac{2}{3}

(Soruda

c > 0

olduğu belirtilmiştir).

Bilinmeyen katsayıyı denklemden çekerek değerini kesinleştiriyoruz.

Birinci temel bileşenin (

Y_1

) varyansını belirleyin.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 18

TBA'da

i

. temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin

i

. en büyük özdeğerine (

\lambda_i

) eşittir.

Verilen

Z

doğrusal kombinasyonunun varyansını hesaplayın.

Z = 3(e_{11}X_1 + e_{12}X_2 + e_{13}X_3) = 3Y_1

olduğundan,

Var(Z) = Var(3Y_1) = 3^2 \cdot Var(Y_1) = 9 \cdot 18 = 162

Bir rassal değişkenin sabit bir sayıyla çarpımının varyansı, o sabitin karesi ile rassal değişkenin varyansının çarpımına eşittir (

Var(aX) = a^2Var(X)

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Katsayıları, Özvektör Normu ve Temel Bileşen Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular