Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı, bir sanayi bölgesindeki günlük hava kalitesi seviyelerini izlemektedir. Modelin durum uzayı S={1,2,3}S = \{1, 2, 3\} olup, bu durumlar sırasıyla 'Temiz', 'Orta' ve 'Riskli' seviyeleri ifade etmektedir. Sistemin günlük geçiş olasılıkları matrisi aşağıdaki gibidir:

P=[0.50.500.20.40.400.50.5] P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.4 & 0.4 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinde tüm durumlar birbirine erişilebilir olduğundan zincir indirgenemezdir (irreducible). Sistemde geçici (transient) veya yutucu (absorbing) durum bulunmamakta olup, tüm durumlar pozitif öz yinelidir (positive recurrent). Zincir aynı zamanda aperiodik (periyodik olmayan) yapıdadır.

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu sanayi bölgesinde hava kalitesinin 'Riskli' (33 numaralı durum) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    211\frac{2}{11}
  2. B
    511\frac{5}{11}
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. 411\frac{4}{11}Cevap
  5. E
    13\frac{1}{3}

Cevap

Uzun dönemde hava kalitesinin 'Riskli' olma olasılığı 411\frac{4}{11}'dir.
Markov zincirlerinde uzun dönem kararlı durum olasılıkları, πP=π\pi P = \pi (sol özvektör) matris denklemi ve normalizasyon (∑πi=1\sum \pi_i = 1) kuralı birlikte çözülerek elde edilir. Verilen geçiş matrisinden π2=2.5π1\pi_2 = 2.5\pi_1 ve π3=2π1\pi_3 = 2\pi_1 oranları bulunur. Tüm olasılıkların toplamının 11 olması gerektiğinden 5.5π1=15.5\pi_1 = 1 denklemi çözülerek π1=211\pi_1 = \frac{2}{11} bulunur. Soru bizden 'Riskli' olan 33 numaralı durumun olasılığını (π3\pi_3) istediğinden, sonuç π3=2×211=411\pi_3 = 2 \times \frac{2}{11} = \frac{4}{11} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum olasılık vektörünü π=[π1,π2,π3]\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3] olarak tanımla ve πP=π\pi P = \pi denklem sistemini kur.
π1=0.5π1+0.2π2\pi_1 = 0.5\pi_1 + 0.2\pi_2
π2=0.5π1+0.4π2+0.5π3\pi_2 = 0.5\pi_1 + 0.4\pi_2 + 0.5\pi_3
π3=0.4π2+0.5π3\pi_3 = 0.4\pi_2 + 0.5\pi_3
Kararlı (sınır) durum olasılıklarını bulmak için matrisin sol özvektör denklemini sağlaması gerekir.
2
Denklem sistemini çözerek değişkenleri birbirleri cinsinden (örneğin π1\pi_1 cinsinden) ifade et.
Birinci denklemden: 0.5π1=0.2π2  ⟹  π2=2.5π10.5\pi_1 = 0.2\pi_2 \implies \pi_2 = 2.5\pi_1
Üçüncü denklemden: 0.5π3=0.4π2  ⟹  π3=0.8π2=0.8(2.5π1)=2π10.5\pi_3 = 0.4\pi_2 \implies \pi_3 = 0.8\pi_2 = 0.8(2.5\pi_1) = 2\pi_1
Değişken sayısını teke düşürmek, normalizasyon kuralını uygulamayı mümkün kılar.
3
Normalizasyon kuralını (olasılıklar toplamı 11'dir) uygula ve π1\pi_1 değerini bul.
π1+π2+π3=1  ⟹  π1+2.5π1+2π1=1  ⟹  5.5π1=1  ⟹  π1=15.5=211\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \implies \pi_1 + 2.5\pi_1 + 2\pi_1 = 1 \implies 5.5\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}
Bulunan oransal katsayıların geçerli bir olasılık dağılımı belirtmesi için toplamlarının mutlak surette 11 olması zorunludur.
4
Soruda istenen 33 numaralı durumun ('Riskli') olasılığını (π3\pi_3) hesapla.
π3=2π1=2×211=411\pi_3 = 2\pi_1 = 2 \times \frac{2}{11} = \frac{4}{11}
Bakanlığın izlediği riskli gün oranının uzun dönem tahmini bu değere eşittir.

Anahtar Kavram

Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları ve Normalizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları