Examkin

Soru

Zorluk: ZorDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Gelir İdaresi Başkanlığı (GİB) tarafından geliştirilen bir yapay zekâ destekli vergi denetim modelinde, mükelleflerin her yılki risk durumları S={1,2,3}S = \{1, 2, 3\} durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu durumlardan 11 'Düşük Riskli', 22 'Orta Riskli' ve 33 'Yüksek Riskli' mükellef kategorisini temsil etmektedir.

Sistemin bir yıldan sonraki yıla geçiş olasılıkları matrisi (PP) aşağıda verilmiştir:

P=[122511012310151215310] P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{5} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinin indirgenemez (irreducible) ve aperiodik olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, rastgele incelenen bir mükellefin 'Yüksek Riskli' (33 numaralı durum) kategorisinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16\frac{1}{6}Cevap
  2. B
    15\frac{1}{5}
  3. C
    310\frac{3}{10}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    35\frac{3}{5}

Cevap

Uzun dönemde 'Yüksek Riskli' kategorisinde bulunma olasılığı 16\frac{1}{6}'dır.
Markov zincirlerinde kararlı durum olasılık vektörü (π\pi), πP=π\pi P = \pi denklemini ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 koşulunu sağlamalıdır. Verilen matriste ilk sütun elemanlarının tamamı 12\frac{1}{2}'dir. Bu durum, π1\pi_1 için yazılacak denklemin π1=12(π1+π2+π3)\pi_1 = \frac{1}{2}(\pi_1 + \pi_2 + \pi_3) olmasını sağlar. Toplam olasılık 11 olduğundan π1=12\pi_1 = \frac{1}{2} olarak doğrudan bulunur. Normalizasyon şartından π2=12−π3\pi_2 = \frac{1}{2} - \pi_3 elde edilir. Üçüncü sütun denklemi olan π3=110π1+15π2+310π3\pi_3 = \frac{1}{10}\pi_1 + \frac{1}{5}\pi_2 + \frac{3}{10}\pi_3 ifadesinde bilinenler yerine yazılıp denklemler çözüldüğünde π3=16\pi_3 = \frac{1}{6} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum olasılık vektörünü π=[π1,π2,π3]\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3] olarak tanımla ve temel eşitlikleri yaz.
πP=π\pi P = \pi ve π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 denklemleri oluşturulur.
Sistem indirgenemez ve aperiodik olduğundan tek bir kararlı durum (sınır olasılık) dağılımı vardır ve bu şartları sağlamak zorundadır.
2
Matris çarpımından 11. duruma ait eşitliği yazarak π1\pi_1 değerini doğrudan bul.
π1=12π1+12π2+12π3=12(π1+π2+π3)\pi_1 = \frac{1}{2}\pi_1 + \frac{1}{2}\pi_2 + \frac{1}{2}\pi_3 = \frac{1}{2}(\pi_1 + \pi_2 + \pi_3). Toplam olasılık 11 olduğundan π1=12(1)=12\pi_1 = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} elde edilir.
Geçiş matrisinin ilk sütunundaki tüm elemanlar 12\frac{1}{2} olduğundan, π1\pi_1 olasılığı sistemin diğer değişkenlerinden bağımsız olarak pratik bir şekilde bulunabilir.
3
Matris çarpımından 33. duruma ait eşitliği yaz ve bilinen değerleri yerine koy.
π3=110π1+15π2+310π3\pi_3 = \frac{1}{10}\pi_1 + \frac{1}{5}\pi_2 + \frac{3}{10}\pi_3. Burada π1=12\pi_1 = \frac{1}{2} olarak yazılır.
Soruda bizden π3\pi_3 istendiği için bu duruma ait geçiş denklemini kullanmalıyız.
4
Normalizasyon şartını kullanarak π2\pi_2 değerini π3\pi_3 cinsinden ifade et ve denklemde yerine koyarak π3\pi_3'ü çöz.
π2=1−π1−π3=12−π3\pi_2 = 1 - \pi_1 - \pi_3 = \frac{1}{2} - \pi_3. Denklem: π3=110(12)+15(12−π3)+310π3\pi_3 = \frac{1}{10}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{5}(\frac{1}{2} - \pi_3) + \frac{3}{10}\pi_3. Çözüldüğünde 910π3=320  ⟹  π3=16\frac{9}{10}\pi_3 = \frac{3}{20} \implies \pi_3 = \frac{1}{6} bulunur.
Üç bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene (π3\pi_3) indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları
Bu soruyu puanla

Konular

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları