Examkin

Soru

Zorluk: ZorYenileme Teorisi

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde kullanılan tam otomatik seraların iklimlendirme sistemlerindeki özel filtreler, işlevini yitirdiği anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bir filtrenin çalışma ömrü (ay cinsinden), şekil parametresi α=4\alpha = 4 ve oran (rate) parametresi λ=0,5\lambda = 0,5 olan Gamma dağılımına sahiptir. Filtrelerin ömürleri birbirinden bağımsızdır.

N(t)N(t), (0,t](0, t] zaman aralığında gerçekleştirilen toplam filtre yenileme sayısını ve M(t)=E[N(t)]M(t) = E[N(t)] beklenen yenileme sayısını (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.

Buna göre, uzun dönemde birim zaman başına beklenen yenileme oranı (lim⁡t→∞M(t)t)\left( \lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} \right) ile yenileme sayısının asimptotik varyans oranı (lim⁡t→∞Var(N(t))t)\left( \lim_{t \to \infty} \frac{Var(N(t))}{t} \right) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    18\frac{1}{8} ve 18\frac{1}{8}
  2. B
    88 ve 1616
  3. C
    18\frac{1}{8} ve 14\frac{1}{4}
  4. 18\frac{1}{8} ve 132\frac{1}{32}Cevap
  5. E
    12\frac{1}{2} ve 18\frac{1}{8}

Cevap

Doğru değerler sırasıyla 1/81/8 ve 1/321/32'dir.
Temel yenileme teoremine göre uzun dönem yenileme oranı 1/μ1/\mu ile bulunur. Asimptotik varyans oranı ise σ2/μ3\sigma^2 / \mu^3 formülü ile hesaplanır. Verilen Gamma dağılımının beklenen değeri μ=α/λ=8\mu = \alpha/\lambda = 8 ve varyansı σ2=α/λ2=16\sigma^2 = \alpha/\lambda^2 = 16'dır. Bu değerler asimptotik limit formüllerinde yerine konulduğunda oranlar sırasıyla 1/81/8 ve 16/512=1/3216/512 = 1/32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Filtre ömrünün (X) beklenen değerini (μ\mu) hesaplama
μ=αλ=40,5=8\mu = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{4}{0,5} = 8 ay
Temel yenileme teoreminde uzun dönem yenileme oranı formülü olan 1/μ1/\mu'yü bulmak için gereklidir.
2
Filtre ömrünün varyansını (σ2\sigma^2) hesaplama
σ2=αλ2=4(0,5)2=40,25=16\sigma^2 = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{4}{(0,5)^2} = \frac{4}{0,25} = 16
Asimptotik varyans oranını formülize edebilmek için dağılımın varyansına ihtiyaç vardır.
3
Uzun dönem birim zaman başına beklenen yenileme oranını hesaplama
lim⁡t→∞M(t)t=1μ=18\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{8}
Temel yenileme teoremi, t→∞t \to \infty için bu limitin 1/μ1/\mu olduğunu garanti eder.
4
Yenileme sayısının asimptotik varyans oranını hesaplama
lim⁡t→∞Var(N(t))t=σ2μ3=1683=16512=132\lim_{t \to \infty} \frac{Var(N(t))}{t} = \frac{\sigma^2}{\mu^3} = \frac{16}{8^3} = \frac{16}{512} = \frac{1}{32}
Merkezi limit teoreminin yenileme süreçlerine uygulanmasıyla elde edilen asimptotik varyans formülü σ2/μ3\sigma^2/\mu^3'tür.

Anahtar Kavram

Yenileme Süreçlerinde Asimptotik Limit Teoremleri
Bu soruyu puanla

Konular

Yenileme Teorisi

Bu konudan daha fazla soru