Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYenileme Teorisi

Bir il özel idaresine ait iş makinelerinin hidrolik pompaları arızalandıkça anında yenileriyle değiştirilmektedir. Bir hidrolik pompanın arızasız çalışma süresi (yıl cinsinden) XX rastgele değişkeni olup, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x)={2x3,x>10,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & x > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

M(t)M(t), (0,t](0, t] zaman aralığında değiştirilen hidrolik pompa sayısının beklenen değerini (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.
Buna göre, temel yenileme teoremine (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemde yıllık ortalama pompa değiştirme hızı olan lim⁡t→∞M(t)t\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 12\frac{1}{2}Cevap
  2. B
    22
  3. C
    11
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    44

Cevap

Temel yenileme teoremine göre uzun dönem yenileme hızı 12\frac{1}{2}'dir.
Verilen sürekli rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonundan beklenen değeri E[X]=∫1∞xf(x)dx=2E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x) dx = 2 olarak bulunur. Temel yenileme teoremine göre, yenileme fonksiyonunun asimptotik hızı lim⁡t→∞M(t)t=1E[X]\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{E[X]} formülü ile hesaplanır. Bu nedenle uzun dönemdeki yenileme hızı 12\frac{1}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Hidrolik pompanın arızasız çalışma süresinin beklenen değerini (E[X]E[X]) hesaplama.
E[X]=∫1∞x⋅2x3dx=∫1∞2x2dx=[−2x]1∞=0−(−2)=2E[X] = \int_{1}^{\infty} x \cdot \frac{2}{x^3} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{x^2} dx = \left[ -\frac{2}{x} \right]_{1}^{\infty} = 0 - (-2) = 2 yıl.
Yenileme hızını bulabilmek için öncelikle bir yenileme döngüsünün (arızasız çalışma süresi) ortalama uzunluğunun bulunması gerekir.
2
Temel yenileme teoremini (Elementary Renewal Theorem) uygulama.
lim⁡t→∞M(t)t=1E[X]=12\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{E[X]} = \frac{1}{2}
Teoreme göre, uzun dönemde birim zamanda gerçekleşen ortalama yenileme sayısı, ardışık yenilemeler arası geçen sürenin beklenen değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) ve Sürekli Rastgele Değişkenlerde Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Yenileme Teorisi

Bu konudan daha fazla soru