Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYenileme Teorisi

Ulusal bir meteoroloji gözlem ağında, istasyonlardaki rüzgâr hızı ölçüm sensörleri arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Bu sensörlerin arızasız çalışma süreleri (ay cinsinden), şekil parametresi α=5\alpha = 5 ve ölçek parametresi β=3\beta = 3 olan Gamma dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir.

Buna göre, M(t)M(t) fonksiyonu tt anına kadar gerçekleşen beklenen sensör yenileme sayısını göstermek üzere; uzun dönemde birim zamandaki ortalama yenileme oranını ifade eden lim⁡t→∞M(t)t\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    145\frac{1}{45}
  2. 115\frac{1}{15}Cevap
  3. C
    18\frac{1}{8}
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    1515

Cevap

115\frac{1}{15}
Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, ardışık yenilemeler arası süreler bağımsız ve aynı dağılımlı, beklenen değeri μ\mu olan rastgele değişkenler ise, uzun dönem birim zamandaki beklenen yenileme sayısı lim⁡t→∞M(t)t=1μ\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} limitine eşittir. Verilen problemde sensör ömrü şekil parametresi α=5\alpha = 5 ve ölçek parametresi β=3\beta = 3 olan Gamma dağılımı ile modellenmiştir. Gamma dağılımının beklenen değeri μ=α×β=5×3=15\mu = \alpha \times \beta = 5 \times 3 = 15 aydır. Formülde yerine konduğunda asimptotik limit 115\frac{1}{15} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yenileme teorisindeki asimptotik oranı veren Temel Yenileme Teoremi'ni (Elementary Renewal Theorem) tanımla.
lim⁡t→∞M(t)t=1μ\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} eşitliği kurulur.
Uzun dönemde birim zamanda beklenen yenileme sayısı, parçaların ortalama ömürlerinin çarpmaya göre tersine eşittir.
2
Verilen sensör ömürlerinin dağılımına ait beklenen değeri (μ\mu) hesapla.
μ=E[X]=α×β=5×3=15\mu = E[X] = \alpha \times \beta = 5 \times 3 = 15 ay olarak bulunur.
Sensör ömürleri α=5\alpha = 5 ve β=3\beta = 3 parametreli Gamma dağılımına sahiptir ve Gamma dağılımının beklenen değeri şekil ve ölçek parametrelerinin çarpımıdır.
3
Bulunan beklenen değeri yenileme oran formülünde yerine koy.
115\frac{1}{15} sonucu elde edilir.
Ortalama ömrü 15 ay olan sensörler için uzun dönemde ayda ortalama 1/151/15 adet sensör yenilemesi beklenir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) ve Gamma Dağılımının Beklenen Değeri
Bu soruyu puanla

Konular

Yenileme Teorisi

Bu konudan daha fazla soru