Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir kamu strateji merkezi, bir bölgedeki hanelerin aylık ortalama kitap okuma sayısını (θ\theta) belirlemek amacıyla n=400n=400 hanelik geniş bir rastgele örneklem seçmiştir. Kitap okuma sayısının θ\theta parametreli Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Yapılan incelemede örneklem ortalaması xˉ=4\bar{x} = 4 olarak hesaplandığına göre, θ\theta parametresi için %95 güven düzeyindeki asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96 alınız).

  1. [3,804; 4,196]Cevap
  2. B
    [3,608; 4,392]
  3. C
    [3,980; 4,020]
  4. D
    [3,836; 4,164]
  5. E
    [3,792; 4,208]

Cevap

Kitap okuma sayısı parametresi için asimptotik güven aralığı [3,804; 4,196] olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan aralık, Poisson dağılımının parametresi θ\theta için MLE olan xˉ=4\bar{x}=4 değerine, %95 güven düzeyi için z=1,96z=1,96 kritik değeri ve 4/400=0,1\sqrt{4/400}=0,1 standart hatasının uygulanmasıyla elde edilen [3,804; 4,196] değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Nokta tahmin edicisini ve asimptotik varyansı belirleyin.
θ^=Xˉ=4\hat{\theta} = \bar{X} = 4 ve Var(Xˉ)=θn≈xˉnVar(\bar{X}) = \frac{\theta}{n} \approx \frac{\bar{x}}{n}
Poisson dağılımında en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasıdır ve varyansı θ/n\theta/n'dir.
2
Tahmini standart hatayı hesaplayın.
S.H.=4400=0,01=0,1S.H. = \sqrt{\frac{4}{400}} = \sqrt{0,01} = 0,1
Büyük örneklemlerde asimptotik güven aralığı için parametre yerine tahmini kullanılarak standart hata elde edilir.
3
Güven aralığı sınırlarını oluşturun.
4±1,96×0,1=4±0,1964 \pm 1,96 \times 0,1 = 4 \pm 0,196
Asimptotik normallik varsayımı altında güven aralığı xˉ±zα/2⋅S.H.\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot S.H. formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımına sahip büyük örneklemlerde, θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) asimptotik olarak normal dağılım gösterir ve güven aralığı xˉ±zα/2xˉ/n\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\bar{x}/n} ile hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru