Examkin

Soru

Zorluk: KolayBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım daire başkanlığı, toplu taşıma araçlarında kullanılan yeni bir temassız ödeme sisteminin başarı oranını (pp) tahmin etmek amacıyla bir çalışma yapmıştır. Rastgele seçilen n=400n=400 işlemden 320 tanesinin sorunsuz bir şekilde gerçekleştiği gözlenmiştir. Buna göre, bu ödeme sisteminin başarı oranı (pp) için %95\%95 düzeyinde asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96)

  1. [0,7608 ; 0,8392][0,7608 \ ; \ 0,8392]Cevap
  2. B
    [0,7671 ; 0,8329][0,7671 \ ; \ 0,8329]
  3. C
    [0,0160 ; 1,5840][0,0160 \ ; \ 1,5840]
  4. D
    [0,7980 ; 0,8020][0,7980 \ ; \ 0,8020]
  5. E
    [0,7510 ; 0,8490][0,7510 \ ; \ 0,8490]

Cevap

Sistemin başarı oranı için %95 asimptotik güven aralığı [0,7608 ; 0,8392] olarak hesaplanır.
Verilen büyük örneklemde başarı oranı p^=0,80\hat{p} = 0,80 ve örneklem çapı n=400n=400 olarak belirlenmiştir. %95\%95 güven düzeyi için kritik değer z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96'dır. Standart hata (0,8×0,2)/400=0,02\sqrt{(0,8 \times 0,2) / 400} = 0,02 olarak bulunur. Hata payı 1,96×0,02=0,03921,96 \times 0,02 = 0,0392 olduğundan, [0,80−0,0392 ; 0,80+0,0392][0,80 - 0,0392 \ ; \ 0,80 + 0,0392] işlemi sonucunda [0,7608 ; 0,8392][0,7608 \ ; \ 0,8392] aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesaplayın.
p^=320400=0,80\hat{p} = \frac{320}{400} = 0,80
Asimptotik güven aralığı hesaplamasında nokta tahmin edicisi olarak örneklem oranı kullanılır.
2
Asimptotik standart hatayı (SESE) hesaplayın.
SE=p^(1−p^)n=0,8×0,2400=0,16400=0,420=0,02SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,8 \times 0,2}{400}} = \sqrt{\frac{0,16}{400}} = \frac{0,4}{20} = 0,02
Büyük örneklemlerde Bernoulli parametresi için asimptotik varyans tahmini p^(1−p^)n\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} şeklindediz.
3
Güven sınırlarını belirleyin.
0,80±1,96×0,02=0,80±0,03920,80 \pm 1,96 \times 0,02 = 0,80 \pm 0,0392
Güven aralığı, nokta tahminine hata payının (zα/2×SEz_{\alpha/2} \times SE) eklenip çıkarılmasıyla oluşturulur.
4
Alt ve üst sınır değerlerini hesaplayın.
Alt Sınır: 0,80−0,0392=0,76080,80 - 0,0392 = 0,7608; Üst Sınır: 0,80+0,0392=0,83920,80 + 0,0392 = 0,8392
Güven aralığının nihai sayısal sınırlarına ulaşmak için toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde oran tahmini için asimptotik normallik varsayımı (Merkezi Limit Teoremi) altında standart normal dağılım (ZZ) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem çapı n arttıkça güven aralığının daraldığını gözlemlemek için aynı soruyu n=1600 için çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru