Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir büyükşehir belediyesi su ve kanalizasyon idaresi, altyapıda kullanılan belirli bir tip su pompasının arızalanana kadar geçen çalışma süresini (bin saat cinsinden) incelemektedir. Pompaların çalışma süresinin f(x;θ)=1θe−x/θ, (x>0, θ>0)f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \ (x > 0, \ \theta > 0) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uyduğu bilinmektedir.

İdare, rastgele seçilen çok sayıda (nn hacimli, n→∞n \to \infty) pompanın çalışma sürelerini gözlemlemiş ve örneklem ortalamasını xˉ\bar{x} olarak hesaplamıştır.

Buna göre, ortalama çalışma süresi olan θ\theta parametresi için 100(1−α)%100(1-\alpha)\% güven düzeyindeki asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. xˉ±zα/2xˉn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}Cevap
  2. B
    xˉ±tn−1,α/2xˉn\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}
  3. C
    xˉ±zα/2θn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\theta}{\sqrt{n}}
  4. D
    xˉ±zα/2xˉn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{x}}{n}}
  5. E
    xˉ±zα/2xˉ2n\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}^2}{n}

Cevap

Doğru asimptotik güven aralığı, sınırlarında standart normal dağılım kritik değerini ve doğru hesaplanmış standart hatayı içeren xˉ±zα/2xˉn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}} formülüdür.
Büyük örneklemlerde, en çok olabilirlik tahmin edicisinin (θ^=xˉ\hat{\theta}=\bar{x}) asimptotik dağılımı N(θ,1nI(θ))N(\theta, \frac{1}{n I(\theta)})'dır. Üstel dağılım için I(θ)=1/θ2I(\theta) = 1/\theta^2 olduğundan asimptotik varyans θ2/n\theta^2/n'dir. Standart hata için karekök alınır ve θ\theta yerine xˉ\bar{x} konularak xˉ/n\bar{x}/\sqrt{n} bulunur. Dağılım asimptotik normal olduğu için zα/2z_{\alpha/2} çarpanı kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dağılım için en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) belirleyin.
Üstel dağılımda f(x;θ)=1θe−x/θf(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} için θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalaması olan θ^=xˉ\hat{\theta} = \bar{x}'tir.
Asimptotik güven aralıkları genellikle MLE'nin asimptotik normallik özelliğine dayanarak oluşturulur.
2
Fisher Bilgi (Information) matrisini kullanarak tahmin edicinin asimptotik varyansını hesaplayın.
Tek bir gözlem için Fisher Bilgi değeri I(θ)=1θ2I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}'dir. nn hacimli örneklem için MLE'nin asimptotik varyansı 1nI(θ)=θ2n\frac{1}{n I(\theta)} = \frac{\theta^2}{n} olur.
Güven sınırlarını belirlerken tahmin edicinin yayılımını (varyansını) bilmek gerekir.
3
Bilinmeyen parametre yerine tahmin edicisini koyarak tahmini standart hatayı bulun.
Varyans θ2n\frac{\theta^2}{n} olduğundan standart hata θn\frac{\theta}{\sqrt{n}}'dir. θ\theta yerine θ^=xˉ\hat{\theta} = \bar{x} yazıldığında tahmini standart hata xˉn\frac{\bar{x}}{\sqrt{n}} elde edilir.
Güven sınırlarının sadece bilinen örneklem istatistiklerinden oluşması için bilinmeyen parametre asimptotik yaklaşımla tahmin edicisi ile değiştirilir.
4
Asimptotik normallik teoremine göre aralığı oluşturun.
xˉ∼N(θ,xˉ2n)\bar{x} \sim N(\theta, \frac{\bar{x}^2}{n}) asimptotik yaklaşımı ile 100(1−α)%100(1-\alpha)\% güven aralığı xˉ±zα/2xˉn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}} olarak bulunur.
Büyük örneklemlerde Merkezi Limit Teoremi ve MLE asimptotik özellikleri gereği Z standart normal dağılımı kullanılır.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Dağılımı ve Güven Aralıkları
Bu soruyu puanla

Konular

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru