Bir kamu kurumu, sunulan bir e-devlet hizmetindeki işlem sürelerinin (dakika cinsinden) f(… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumu, sunulan bir e-devlet hizmetindeki işlem sürelerinin (dakika cinsinden) $f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \ (x>0)$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uyduğunu modellemektedir. Bu hizmeti kullanan büyük hacimli $n$ kişiden oluşan rastgele bir örneklem için işlem sürelerinin örneklem ortalaması $\bar{x}$ olarak hesaplanmıştır.

Kurum, bir işlemin belirli bir $t_0$ süresinden daha uzun sürme olasılığını ( $p = P(X > t_0)$ ) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, $p$ olasılığı için oluşturulacak yaklaşık $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{\alpha/2}$ , standart normal dağılımın $1-\alpha/2$ olasılıklı kritik değeridir.)

A
$e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}$
B
$e^{-t_0/\bar{x}} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}$
C
$e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0^2 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}^2\sqrt{n}}$
$e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}$ Cevap
E
$e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{e^{-t_0/\bar{x}}(1 - e^{-t_0/\bar{x}})}{n}}$

Cevap

Doğru asimptotik güven aralığı, tahmin edicinin Delta metodu ile bulunan standart hatasını ve standart normal dağılımı kullanan

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

ifadesidir.

Delta metodu kullanılarak

p(\lambda) = e^{-\lambda t_0}

fonksiyonunun asimptotik varyansı hesaplandığında, türevden gelen

-t_0

çarpanı ve

\hat{\lambda}

'nın varyansından gelen

\lambda^2/n

terimi kullanılarak doğru standart hata

\frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

olarak elde edilir. Büyük örneklem durumunda asimptotik aralıklar daima

z

kritik değeriyle yazıldığından doğru aralık bu elemanları içerir.

Adım Adım Çözüm

En Çok Olabilirlik (MLE) tahmini ile parametrenin ve istenen olasılığın tahmin edicisini bulmak

Üstel dağılımda

\hat{\lambda} = 1/\bar{x}

elde edilir. MLE'nin değişmezlik özelliği (invariance property) gereği

\hat{p} = P(X > t_0) = e^{-\lambda t_0}

ifadesinin tahmini

\hat{p} = e^{-t_0/\bar{x}}

olur.

Bilinmeyen olasılığı

(p)

örneklem verisinden parametrik olarak asimptotik yolla tahmin edebilmek için.

Delta Metodu ile hedef fonksiyonun asimptotik varyansını hesaplamak

Asimptotik özellikleri kullanarak

Var(\hat{p}) \approx [p'(\lambda)]^2 Var(\hat{\lambda})

yazılır. Türev

p'(\lambda) = -t_0 e^{-\lambda t_0}

Var(\hat{\lambda}) = \lambda^2/n

olduğundan,

Var(\hat{p}) \approx (-t_0 e^{-\lambda t_0})^2 \cdot \frac{\lambda^2}{n} = \frac{t_0^2 e^{-2\lambda t_0} \lambda^2}{n}

bulunur.

Non-lineer bir fonksiyonun (olasılık formülünün) varyansını bilinen temel parametre (

\hat{\lambda}

) varyansı üzerinden elde etmek için.

Tahmini Standart Hatayı (SE) oluşturmak

Asimptotik varyansın karekökü alınır ve bilinmeyen

\lambda

yerine tahmini

\hat{\lambda} = 1/\bar{x}

yazılır:

SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\bar{x}} (1/\bar{x})^2}{n}} = \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

elde edilir.

Güven aralığında

\pm

sapma (hata) miktarını (standart hata) doğru şekilde belirlemek için.

Asimptotik güven aralığı sınırlarını yazmak

Büyük örneklemlerde Merkezi Limit Teoremi gereği

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot SE(\hat{p})

formülünde yerine konularak aralık tamamlanır.

Asimptotik normallik özelliği, büyük

n

hacimlerinde her zaman standart normal dağılım (

z

) istatistiğini zorunlu kılar.

Anahtar Kavram

Delta Metodu ile Asimptotik Varyans ve Büyük Örneklem Güven Aralıkları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru