Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük ortalama evrak işleme kapasitesini belirlemek amacıyla yapılan bir araştırmada, birim zamanda işlenen evrak sayısının ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan bir dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Bu kitleden n=64n=64 birimlik bir rastgele örneklem seçilmiş; örneklem ortalaması Xˉ=18\bar{X}=18 ve örneklem varyansı S2=256S^2=256 olarak hesaplanmıştır. Buna göre, Merkezi Limit Teoremi'nden yararlanılarak μ\mu parametresi için oluşturulan %95'lik asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96)

  1. [14,08 \ ; \ 21,92]Cevap
  2. B
    [14,71 \ ; \ 21,29]
  3. C
    [17,51 \ ; \ 18,49]
  4. D
    [14,00 \ ; \ 22,00]
  5. E
    [10,16 \ ; \ 25,84]

Cevap

[14,08 ; 21,92][14,08 \ ; \ 21,92] aralığı doğru asimptotik güven aralığıdır.
Doğru cevap olan [14,08 ; 21,92][14,08 \ ; \ 21,92] seçeneği, asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı formülü kullanılarak elde edilmiştir. Örneklem hacmi n=64n=64 (30'dan büyük) olduğu için Merkezi Limit Teoremi geçerlidir. Bu durumda standart hata 16/8=216/8=2 olarak bulunur ve %95 güven düzeyi için kullanılan 1,96 kritik değeriyle çarpıldığında 3,92 marjinal hata elde edilir. 18 olan örneklem ortalamasından bu değerin çıkarılması ve eklenmesi sonucunda doğru sınırlara ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem istatistiklerini ve parametreleri belirle.
Xˉ=18\bar{X} = 18, S2=256S^2 = 256 (yani S=16S = 16), n=64n = 64 ve Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96.
Hesaplama için gerekli olan merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini tespit etmek gerekir.
2
Standart hatayı hesapla.
SE=Sn=1664=168=2SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2.
Örneklem ortalamasının standart sapması olan standart hata, güven aralığının genişliğini belirler.
3
Güven sınırlarını hesapla.
Xˉ±Zα/2⋅SE=18±(1,96×2)=18±3,92\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot SE = 18 \pm (1,96 \times 2) = 18 \pm 3,92.
Asimptotik güven aralığı formülü olan Xˉ±Zα/2Sn\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} ifadesi uygulanır.
4
Alt ve üst sınır değerlerini bul.
Alt sınır: 18−3,92=14,0818 - 3,92 = 14,08; Üst sınır: 18+3,92=21,9218 + 3,92 = 21,92.
Nokta tahmininden marjinal hata çıkarılıp eklenerek aralık tamamlanır.

Anahtar Kavram

Büyük örneklem hacmine (n→∞n \to \infty) sahip kitlelerde, kitlenin dağılımı normal olmasa bile Merkezi Limit Teoremi gereği örneklem ortalaması asimptotik olarak normal dağılır ve güven aralığı hesaplanırken Z tablosu kullanılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru