Bir kamu araştırma kurumu, kırsal kalkınma planlaması kapsamında belirli bir bölgedeki köy… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma kurumu, kırsal kalkınma planlaması kapsamında belirli bir bölgedeki köylerde bulunan ortalama traktör sayısını ( $\lambda$ ) incelemektedir. Köylerdeki traktör sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Bölgeden rastgele seçilen $100$ köyde yapılan sayımlarda toplam $900$ traktör olduğu saptanmıştır. Buna göre, $\lambda$ parametresi için %95 güven düzeyinde oluşturulacak büyük örneklem (asimptotik) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ )

$[8,41 \ ; \ 9,59]$ outdoorCevap
B
$[8,40 \ ; \ 9,60]$ outdoor
C
$[8,51 \ ; \ 9,49]$ outdoor
D
$[8,82 \ ; \ 9,18]$ outdoor
E
$[7,24 \ ; \ 10,76]$ outdoor

Cevap

Hesaplanan %95 asimptotik güven aralığı

[8,41 \ ; \ 9,59]

olarak bulunur.

Verilen örneklemde toplam 900 traktör 100 köye bölündüğünde örneklem ortalaması 9 olarak bulunur. Poisson dağılımında kitle varyansı parametreye (

\lambda

) eşittir. Asimptotik durumda

\bar{X}

tahmin edicisinin varyansı

\lambda/n

olur ve tutarlılık özelliği gereği bu değer

\bar{x}/n

ile tahmin edilir. Standart hata

\sqrt{9/100} = 0,3

olarak hesaplanır. %95 güven düzeyi için

1,96

kritik değeri kullanıldığında hata payı

1,96 \times 0,3 = 0,588

olur. Sonuç olarak

9 \pm 0,588

işlemi

[8,41 \ ; \ 9,59]

aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

Örneklem ortalamasının (

\bar{x}

) hesaplanması

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{900}{100} = 9

Poisson dağılımında parametre

\lambda

için en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasıdır.

Tahmin edicinin asimptotik varyansının ve standart hatasının belirlenmesi

Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n} \approx \frac{\bar{x}}{n} = \frac{9}{100} = 0,09 \implies SH = \sqrt{0,09} = 0,3

Merkezi Limit Teoremi uyarınca

\bar{X}

asimptotik olarak normal dağılır ve Poisson dağılımı için varyans parametreye eşittir.

Güven aralığı sınırlarının hesaplanması

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times SH = 9 \pm 1,96 \times 0,3 = 9 \pm 0,588

%95 güven düzeyi için kritik

z

değeri olan

1,96

ile standart hata çarpılarak hata payı bulunur.

Aralık sınırlarının yuvarlanarak yazılması

Alt Sınır:

9 - 0,588 = 8,412 \approx 8,41

; Üst Sınır:

9 + 0,588 = 9,588 \approx 9,59

İstatistiksel gösterimde genellikle virgülden sonra iki basamak kullanılır.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımı için en çok olabilirlik tahmin edicisinin (MLE) asimptotik normallik özelliği kullanılarak oluşturulan güven aralığı.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Bernoulli dağılımı (oran tahmini) için uygulayarak asimptotik varyansın nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru