Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir araştırmacı, X1X_1 ve X2X_2 değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla varyans-kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen (Y1Y_1) doğrusal kombinasyonu aşağıda verilmiştir:

Y1=25X1+15X2Y_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}X_1 + \frac{1}{\sqrt{5}}X_2

Çalışmada kullanılan varyans-kovaryans matrisi S=[5222]S = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} olduğuna göre, bu birinci temel bileşenin açıkladığı varyans değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    5
  4. 6Cevap
  5. E
    7

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı, varyans-kovaryans matrisinin birinci (en büyük) özdeğeri olan 6'dır.
Varyans-kovaryans matrisi S=[5222]S = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} olan bir sistemde birinci temel bileşenin varyansı, bu matrisin en büyük özdeğerine (lambda1\\lambda_1) eşittir. Karakteristik denklem çözüldüğünde lambda2−7lambda+6=0\\lambda^2 - 7\\lambda + 6 = 0 elde edilir ve kökler 6 ve 1 olarak bulunur. En büyük kök olan 6, birinci temel bileşenin varyansını temsil eder. Ayrıca doğrusal kombinasyon formülü Var(Y1)=a′SaVar(Y_1) = a'Sa ile hesaplandığında da sonuç 6 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Temel bileşen varyansı ile özdeğer arasındaki ilişkinin belirlenmesi.
Var(Y1)=λ1Var(Y_1) = \lambda_1
Temel Bileşenler Analizi'nde, her bir temel bileşenin varyansı, analizde kullanılan matrisin (kovaryans veya korelasyon) ilgili özdeğerine eşittir.
2
Varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerinin hesaplanması.
∣S−λI∣=0⇒(5−λ)(2−λ)−4=0⇒λ2−7λ+6=0|S - \lambda I| = 0 \Rightarrow (5-\lambda)(2-\lambda) - 4 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0
Özdeğerler, karakteristik denklemin kökleridir.
3
Karakteristik denklemin çözülmesi ve en büyük özdeğerin seçilmesi.
(λ−6)(λ−1)=0(\lambda - 6)(\lambda - 1) = 0 ise λ1=6\lambda_1 = 6 ve λ2=1\lambda_2 = 1.
Birinci temel bileşen en yüksek varyansı açıkladığı için en büyük özdeğer olan 6 seçilir.

Anahtar Kavram

Temel bileşenlerin varyansları, varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerine (lambdai\\lambda_i) eşittir ve bileşen katsayıları bu özdeğerlere karşılık gelen birim özvektörlerdir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar