Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir kamu kurumuna belirli bir süre zarfında gelen başvuru sayısının λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir:

f(x;λ)=e−λλxx!,x=0,1,2,…f(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Sistem verimliliğini analiz etmek amacıyla, belirli bir zaman diliminde hiç başvuru gelmeme olasılığı olan τ(λ)=e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda} parametresi tahmin edilmek istenmektedir. nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem temel alındığında, τ(λ)\tau(\lambda) parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}Cevap
  2. B
    e−2λnλ\frac{e^{-2\lambda}}{n\lambda}
  3. C
    λe−2λ\lambda e^{-2\lambda}
  4. D
    e−2λn\frac{e^{-2\lambda}}{n}
  5. E
    λe−λn\frac{\lambda e^{-\lambda}}{n}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} olarak hesaplanır.
Cramer-Rao alt sınırı, tahmin edilmek istenen fonksiyonun türevinin karesinin toplam Fisher bilgisine bölünmesiyle bulunur. Poisson dağılımı için birim Fisher bilgisi 1/λ1/\lambda ve e−λe^{-\lambda} fonksiyonunun türevinin karesi e−2λe^{-2\lambda} olduğundan, nn birimlik örneklem için alt sınır λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (I(λ)I(\lambda)) hesapla.
I(λ)=−E[∂2ln⁡f(X;λ)∂λ2]=1/λI(\lambda) = -E\left[ \frac{\partial^2 \ln f(X; \lambda)}{\partial \lambda^2} \right] = 1/\lambda
Cramer-Rao alt sınırı formülünün paydası için birim bilgi miktarına ihtiyaç vardır.
2
Tahmin edilmek istenen τ(λ)=e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonunun türevini al ve karesini hesapla.
τ′(λ)=−e−λ⇒[τ′(λ)]2=e−2λ\tau'(\lambda) = -e^{-\lambda} \Rightarrow [\tau'(\lambda)]^2 = e^{-2\lambda}
Alt sınır, tahmin edilen fonksiyonun değişim hızının karesiyle doğru orantılıdır.
3
Örneklem büyüklüğü nn için Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygula.
Var(τ^)≥[τ′(λ)]2nI(λ)=e−2λn(1/λ)=λe−2λnVar(\hat{\tau}) \geq \frac{[\tau'(\lambda)]^2}{n I(\lambda)} = \frac{e^{-2\lambda}}{n (1/\lambda)} = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}
Bağımsız nn gözlem için toplam bilgi miktarı nI(λ)n I(\lambda) olur.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao eşitsizliği, yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği teorik en küçük varyans değerini belirler.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru