Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Güven Aralığı

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım planlama birimi, şehrin iki farklı bölgesinde hizmet veren K ve L otobüs hatlarının bir seferdeki ortalama yolcu sayılarını karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla K hattından rastgele 1010 sefer, L hattından ise rastgele 1515 sefer incelenmiştir. K hattı için sefer başına ortalama yolcu sayısı 8585 ve varyans 3838 olarak hesaplanmıştır. L hattı için ise ortalama yolcu sayısı 7575 ve varyans 1515 bulunmuştur.

İki hattın yolcu sayılarının normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyanslarının bilinmemekle birlikte birbirine eşit olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, K ve L hatlarının sefer başına ortalama yolcu sayıları farkı (μK−μL\mu_K - \mu_L) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda t0,025;23=2,069t_{0,025; 23} = 2,069, t0,025;25=2,060t_{0,025; 25} = 2,060 ve Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96 değerlerini kullanınız. Sonuçları virgülden sonra iki basamak olacak şekilde yuvarlayınız.)

  1. [5,86;14,14][5,86; 14,14]Cevap
  2. B
    [5,47;14,53][5,47; 14,53]
  3. C
    [6,08;13,92][6,08; 13,92]
  4. D
    [5,88;14,12][5,88; 14,12]
  5. E
    [5,65;14,35][5,65; 14,35]

Cevap

Doğru güven aralığı sınırları [5,86;14,14][5,86; 14,14] olarak hesaplanmıştır.
Varyansların bilinmediği ve eşit varsayıldığı senaryolarda güven aralığı formülü (xˉ1−xˉ2)±tα/2,df×Sp2(1/n1+1/n2)(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \times \sqrt{S_p^2(1/n_1 + 1/n_2)} şeklindedir. Ortak varyans Sp2=24S_p^2 = 24, standart hata 2 ve 23 serbestlik dereceli t kritik değeri 2,069 olarak bulunur. Bu değerler nokta tahmini olan 10 değerine uygulandığında aralık [5,86;14,14][5,86; 14,14] sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen istatistiklerin özetlenmesi ve nokta tahmininin bulunması.
K hattı: n1=10n_1=10, xˉ1=85\bar{x}_1=85, S12=38S_1^2=38. L hattı: n2=15n_2=15, xˉ2=75\bar{x}_2=75, S22=15S_2^2=15. Nokta tahmini: xˉ1−xˉ2=85−75=10\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 85 - 75 = 10.
Güven aralığı, iki örneklem ortalaması arasındaki fark etrafında kurulacaktır.
2
Kitle varyansları eşit varsayıldığı için ortak varyansın (Sp2S_p^2) hesaplanması.
Sp2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2=9(38)+14(15)10+15−2=342+21023=55223=24S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{9(38) + 14(15)}{10 + 15 - 2} = \frac{342 + 210}{23} = \frac{552}{23} = 24.
Bilinmeyen ancak eşit olan kitle varyansları için her iki örneklemden elde edilen bilgilerin serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilmesi (pooling) gerekir.
3
Ortalamalar farkının standart hatasının (SE) bulunması.
SE=Sp2(1n1+1n2)=24(110+115)=24(530)=24×16=4=2SE = \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{24 \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)} = \sqrt{24 \left(\frac{5}{30}\right)} = \sqrt{24 \times \frac{1}{6}} = \sqrt{4} = 2.
Güven aralığının hata payını hesaplamak için örnekleme dağılımının standart hatasına ihtiyaç vardır.
4
Kritik t değerinin belirlenmesi ve hata payının (ME) hesaplanması.
Serbestlik derecesi (df) =23= 23 ve α=0,05\alpha = 0,05 için çift yönlü tablo değeri t0,025;23=2,069t_{0,025; 23} = 2,069 verilmiştir. ME=t×SE=2,069×2=4,138ME = t \times SE = 2,069 \times 2 = 4,138.
Kitle varyansları bilinmediği için T dağılımı kullanılmalıdır.
5
Güven sınırlarının oluşturulması ve yuvarlanması.
10±4,138=[10−4,138;10+4,138]=[5,862;14,138]10 \pm 4,138 = [10 - 4,138; 10 + 4,138] = [5,862; 14,138]. İki basamağa yuvarlandığında aralık [5,86;14,14][5,86; 14,14] olarak bulunur.
Nokta tahmininden hata payı çıkarılıp eklenerek %95 güven aralığı sınırları elde edilir.

Anahtar Kavram

İki kitle ortalamaları farkı için ortak varyans kullanılarak güven aralığı oluşturulması
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru