Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak hesaplanan \hat{R} = \b… — KPSS İstatistik

Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak hesaplanan $\hat{R} = \bar{y} / \bar{x}$ oran tahminleyicisinin istatistiksel özellikleri göz önüne alındığında, bu tahminleyicinin yanlılığı (bias) ve varyans yapısı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir ve yanlılık miktarı örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça azalırken; varyans değeri, değişkenler arasındaki pozitif korelasyon arttıkça azalma eğilimi gösterir.Cevap
B
Oran tahminleyicisi, basit rastgele örnekleme altında her durumda yansız bir tahminleyicidir ve varyansı hesaplanırken sadece ilgilenilen değişkenin varyans değeri dikkate alınır.
C
Tahminleyicinin yanlılığı örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça artış gösterir, bu nedenle büyük kitlelerde oran tahminleyicisi yerine her zaman kitle toplamı tahminleyicisi tercih edilmelidir.
D
Varyans hesaplamasında kullanılan sonlu kitle düzeltme çarpanı ( $1-f$ ), sadece kitledeki birim sayısı ( $N$ ) ile örneklem hacmi ( $n$ ) birbirine eşit olduğunda işleme dahil edilir.
E
Oran tahminleyicisinin varyansı, ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısı sıfıra yaklaştığında en küçük değerine ulaşır.

Cevap

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır; bu yanlılık örneklem hacmi arttıkça azalır ve varyans, değişkenler arasındaki pozitif korelasyon arttıkça düşer.

Oran tahminleyicisinin teorik özelliklerine göre, yanlılık paydada bulunan örneklem hacmi (

n

) ile ters ilişkilidir ve varyans formülünde korelasyon katsayısı negatif işaretli bir terim olarak yer aldığı için pozitif korelasyon varyansı düşürür.

Adım Adım Çözüm

Yanlılık özelliğinin incelenmesi

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2}(RS_x^2 - \rho S_x S_y)

Oran tahminleyicisinin yanlılığı

1/n

mertebesindedir, yani büyük örneklemlerde ihmal edilebilir düzeydedir.

Varyans (Hata Karesi Ortalaması) yapısının analizi

V(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2}(S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R\rho S_x S_y)

Formüldeki

-2R\rho S_x S_y

terimi nedeniyle,

y

x

arasındaki korelasyon (

\rho

) pozitif ve yüksek olduğunda toplam varyans azalır.

Sonuçların birleştirilmesi

Asimptotik yansızlık ve etkinlik koşulu

Oran tahminleyicisi, yardımcı değişkenle güçlü pozitif ilişki olduğunda daha etkin sonuçlar verir ve büyük örneklemlerde yansızlığa yaklaşır.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisi küçük örneklemlerde yanlıdır (biased) ancak örneklem hacmi arttıkça bu yanlılık azalır; varyansı ise değişkenler arasındaki korelasyon pozitif ve yüksek olduğunda azalır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular