Examkin

Soru

Zorluk: ZorLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir araştırmacı, normal dağılıma sahip bir kitleden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n≥2n \geq 2) şeklinde rastgele bir örneklem çekmiştir. Bu kitlenin beklenen değeri μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olup, iki parametre de araştırmacı tarafından bilinmemektedir.

Araştırmacı, kitlenin beklenen değerinin karesini (yani θ=μ2\theta = \mu^2 parametresini) tahmin etmek istemektedir. Örneklem ortalaması Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ve örneklem varyansı S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremine dayalı olarak θ=μ2\theta = \mu^2 parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Xˉ2\bar{X}^2
  2. B
    Xˉ2+S2n\bar{X}^2 + \frac{S^2}{n}
  3. C
    Xˉ2−S2\bar{X}^2 - S^2
  4. Xˉ2−S2n\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}Cevap
  5. E
    1n∑i=1nXi2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

Doğru cevap, örneklem ortalamasının karesinden varyans tahmin edicisinin n'e bölümünün çıkarılmasıyla elde edilen Xˉ2−S2n\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiklerin bir fonksiyonu olan ve aynı zamanda yansız olan tahmin edici, o parametre için yegane UMVUE'dir. Normal dağılımda (Xˉ,S2)(\bar{X}, S^2) ortak tam ve yeterli istatistiklerdir. Xˉ\bar{X}'in varyansı Var⁡(Xˉ)=E[Xˉ2]−μ2=σ2n\operatorname{Var}(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{n} olduğundan, E[Xˉ2]=μ2+σ2nE[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} bulunur. Bu yanlılığı gidermek için, yansız varyans tahmin edicisi olan S2S^2'yi kullanırız. E[S2]=σ2E[S^2] = \sigma^2 olduğu bilindiğinden, E[Xˉ2−S2n]=(μ2+σ2n)−σ2n=μ2E[\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}] = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \frac{\sigma^2}{n} = \mu^2 elde edilir. Bu istatistik hem (Xˉ,S2)(\bar{X}, S^2) fonksiyonudur hem de μ2\mu^2 için yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Normal dağılım için tam ve yeterli istatistikleri belirleme
Her iki parametre de bilinmediğinde, (Xˉ,S2)(\bar{X}, S^2) ikilisi ortak tam ve yeterli istatistiklerdir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.
2
Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini hesaplama
Var⁡(Xˉ)=E[Xˉ2]−(E[Xˉ])2\operatorname{Var}(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2 eşitliğinden, E[Xˉ2]=σ2n+μ2E[\bar{X}^2] = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 elde edilir.
Parametre olan μ2\mu^2 için kullanılabilecek ilk tahmin edicinin (MLE) yansız olup olmadığını kontrol etmek gereklidir.
3
Yanlılığı giderecek düzeltme terimini bulma
Örneklem varyansı S2S^2, kitle varyansı σ2\sigma^2 için yansızdır (E[S2]=σ2E[S^2] = \sigma^2). Dolayısıyla E[S2n]=σ2nE[\frac{S^2}{n}] = \frac{\sigma^2}{n} olur.
Beklenen değerdeki σ2n\frac{\sigma^2}{n} fazlalığını çıkarmak için S2S^2 istatistiğinden yararlanılır.
4
UMVUE formunu oluşturma ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulama
E[Xˉ2−S2n]=(μ2+σ2n)−σ2n=μ2E[\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}] = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \frac{\sigma^2}{n} = \mu^2 bulunur.
Xˉ2−S2n\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n} istatistiği tam ve yeterli istatistiklerin bir fonksiyonudur ve μ2\mu^2 için yansızdır; dolayısıyla teorem gereği UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru