Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) mikro veri seti üzerinde çalışan bir uzman, dört farklı hanehalkı tüketim harcaması kaleminden oluşan 4×44 \times 4 boyutlu bir örneklem varyans-kovaryans matrisi (SS) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Bu analizde;
- Veri setindeki toplam varyansı ifade eden matrisin izi (trace) 2020 birim olarak hesaplanmıştır.
- Analiz sonucunda elde edilen ilk üç temel bileşene ait özdeğerler sırasıyla λ1=9\lambda_1 = 9, λ2=6\lambda_2 = 6 ve λ3=3\lambda_3 = 3 olarak bulunmuştur.

Temel bileşenler analizinde matris izi ve determinantı ile özdeğerler arasındaki matematiksel özellikler dikkate alındığında, bu varyans-kovaryans matrisinin genelleştirilmiş varyansını ifade eden determinant değeri (∣S∣)(|S|) kaçtır?

  1. 324Cevap
  2. B
    162
  3. C
    20
  4. D
    2
  5. E
    0.90

Cevap

Matrisin determinantı (genelleştirilmiş varyansı) tüm özdeğerlerin çarpımına eşit olduğu için sonuç 324'tür.
Varyans-kovaryans matrisinin özellikleri gereği, matrisin izi özdeğerlerinin toplamına (∑λi=I˙z(S)\sum \lambda_i = \text{İz}(S)) ve determinantı özdeğerlerinin çarpımına (∏λi=∣S∣\prod \lambda_i = |S|) eşittir. Verilen matris 4×44 \times 4 boyutlu olduğundan 4 adet özdeğeri olmalıdır. İz 20 olarak verildiğine göre dördüncü özdeğer 20−(9+6+3)=220 - (9+6+3) = 2 olur. Genelleştirilmiş varyansı temsil eden determinant ise bu dört özdeğerin çarpımı olan 9×6×3×2=3249 \times 6 \times 3 \times 2 = 324 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisin izi (trace) ile özdeğerlerin toplamı arasındaki eşitliği kur.
I˙z(S)=∑i=14λi=λ1+λ2+λ3+λ4=20\text{İz}(S) = \sum_{i=1}^{4} \lambda_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = 20
Varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamı (trace), toplam varyansı verir ve bu da tüm özdeğerlerin toplamına eşittir.
2
Verilen özdeğerleri yerine koyarak bilinmeyen dördüncü özdeğeri (λ4\lambda_4) hesapla.
9+6+3+λ4=20⇒18+λ4=20⇒λ4=29 + 6 + 3 + \lambda_4 = 20 \Rightarrow 18 + \lambda_4 = 20 \Rightarrow \lambda_4 = 2
4×44 \times 4 boyutlu bir matrisin 4 adet özdeğeri olmalıdır. İlk üçünün toplamı 18 olduğundan, geri kalan varyansı dördüncü özdeğer açıklar.
3
Matrisin determinantı ile özdeğerlerin çarpımı arasındaki eşitliği kullanarak genelleştirilmiş varyansı hesapla.
∣S∣=∏i=14λi=9×6×3×2=324|S| = \prod_{i=1}^{4} \lambda_i = 9 \times 6 \times 3 \times 2 = 324
Çok değişkenli istatistikte bir matrisin determinantı genelleştirilmiş varyansı ifade eder ve matrisin tüm özdeğerlerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) toplam varyansa yani özdeğerlerin toplamına eşitken; determinantı genelleştirilmiş varyansa yani özdeğerlerin çarpımına eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru