Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılım

X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rastgele vektörü, üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılımın beklenen değer vektörü μ=(1,−1,2)T\boldsymbol{\mu} = (1, -1, 2)^T ve varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma}'nın elemanları;

Var(X1)=4\text{Var}(X_1) = 4, Var(X2)=2\text{Var}(X_2) = 2, Var(X3)=3\text{Var}(X_3) = 3
Cov(X1,X2)=1\text{Cov}(X_1, X_2) = 1
Cov(X1,X3)=−1\text{Cov}(X_1, X_3) = -1
Cov(X2,X3)=0\text{Cov}(X_2, X_3) = 0

olarak bilinmektedir.

Buna göre, Y=X1−2X2+X3Y = X_1 - 2X_2 + X_3 biçiminde tanımlanan YY rastgele değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    N(5,15)N(5, 15)
  2. B
    N(5,7)N(5, 7)
  3. N(5,9)N(5, 9)Cevap
  4. D
    N(2,9)N(2, 9)
  5. E
    N(5,35)N(5, 35)

Cevap

Beklenen değeri 5 ve varyansı 9 olan N(5,9)N(5, 9) dağılımıdır.
Çok değişkenli normal rastgele vektörlerin lineer kombinasyonları da normal dağılır. Doğrusal operatör kuralları gereğince beklenen değer E(Y)=E(X1)−2E(X2)+E(X3)=1−2(−1)+2=5E(Y) = E(X_1) - 2E(X_2) + E(X_3) = 1 - 2(-1) + 2 = 5 olarak bulunur. Varyans hesaplamasında ise varyanslar katsayıların karesi ile, kovaryanslar ise değişkenlerin katsayılarının çarpımının iki katı ile ağırlıklandırılır: Var(Y)=12(4)+(−2)2(2)+12(3)+2(1)(−2)(1)+2(1)(1)(−1)+2(−2)(1)(0)=4+8+3−4−2=9Var(Y) = 1^2(4) + (-2)^2(2) + 1^2(3) + 2(1)(-2)(1) + 2(1)(1)(-1) + 2(-2)(1)(0) = 4 + 8 + 3 - 4 - 2 = 9 elde edilir. Bu durum, YY'nin dağılımının N(5,9)N(5, 9) olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın lineer kombinasyonunun dağılım türünü belirlemek.
YY rastgele değişkeni de normal dağılıma sahiptir.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerin her türlü lineer kombinasyonu tek değişkenli normal dağılım sergiler.
2
YY'nin beklenen değerini, beklenti operatörünün doğrusallık özelliğini kullanarak hesaplamak.
E(Y)=1−2(−1)+2=5E(Y) = 1 - 2(-1) + 2 = 5
E(aX1+bX2+cX3)=aE(X1)+bE(X2)+cE(X3)E(aX_1 + bX_2 + cX_3) = aE(X_1) + bE(X_2) + cE(X_3) formülü gereğince katsayılar dikkate alınarak toplama yapılır.
3
YY'nin varyansını çok değişkenli varyans kurallarına göre hesaplamak.
Var(Y)=4+4(2)+3−4(1)−2(1)+0=9Var(Y) = 4 + 4(2) + 3 - 4(1) - 2(1) + 0 = 9
Var(aX1+bX2+cX3)=a2Var(X1)+b2Var(X2)+c2Var(X3)+2abCov(X1,X2)+2acCov(X1,X3)+2bcCov(X2,X3)Var(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2Var(X_1) + b^2Var(X_2) + c^2Var(X_3) + 2abCov(X_1,X_2) + 2acCov(X_1,X_3) + 2bcCov(X_2,X_3) eşitliği uygulanır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Lineer Dönüşümler
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım