Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim denemelerini incelemektedir… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim denemelerini incelemektedir. Sisteme yapılan her bir denemenin başarılı olma (sisteme sızma) olasılığı $p = \frac{1}{4}$ olup, denemeler birbirinden bağımsızdır.

$X$ rastgele değişkeni, ilk başarılı sızma gerçekleşene kadar yapılan toplam deneme sayısını (başarılı sızma dâhil) ifade etmektedir.

Sistemin ilk $2$ denemede sızmaya karşı güvenliğini koruduğu (denemelerin başarısız olduğu) bilindiğine göre; ilk başarılı sızmanın gerçekleşmesi için toplamda en az $5$ deneme yapılması olasılığı, $X$ değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ) ve varyansı ( $Var[X]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A
$\frac{9}{16} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 12$
B
$\frac{27}{64} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12$
$\frac{9}{16} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12$ Cevap
D
$\frac{27}{64} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 16$
E
$\frac{81}{256} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12$

Cevap

İstenilen olasılık

\frac{9}{16}

, beklenen değer

4

ve varyans

12

'dir.

Geometrik dağılımda

X

toplam deneme sayısını ifade ettiğinde beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 4

, varyans ise

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = 12

olarak hesaplanır. İstenilen olasılık ise, hafızasızlık özelliği kullanılarak

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X \sim Geo(p = \frac{1}{4})

p

başarı (sızma) olasılığıdır.

X

, ilk başarıya kadar geçen toplam deneme sayısıdır (başarı dâhil).

Geometrik dağılım için beklenen değer ve varyans formüllerini uygulama.

E[X] = \frac{1}{p} = 4

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = \frac{3/4}{(1/4)^2} = \frac{3/4}{1/16} = 12

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın temel moment formülleri kullanılmıştır.

İstenen olasılığı koşullu olasılık olarak ifade etme.

Sorulan olasılık:

P(X \ge 5 \mid X > 2)

İlk 2 denemenin başarısız olduğu (

X > 2

) biliniyor ve toplamda en az 5 deneme yapılması (

X \ge 5

) isteniyor.

Hafızasızlık özelliğini veya doğrudan koşullu olasılık formülünü kullanarak hesaplama yapma.

Hafızasızlık özelliği ile:

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 4 - 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği

P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)

şeklindedir. Doğrudan yolla da

\frac{P(X > 4)}{P(X > 2)} = \frac{(3/4)^4}{(3/4)^2} = \frac{9}{16}

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Özellikleri ve Hafızasızlık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru