Bir tarım ekonomisti, yıllık gübre kullanım miktarı (X) ile dönüm başına elde edilen ürün … — KPSS İstatistik

Bir tarım ekonomisti, yıllık gübre kullanım miktarı ( $X$ ) ile dönüm başına elde edilen ürün verimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi çözümlemek amacıyla $n=60$ birimlik kantitatif bir veri setini değerlendirmektedir.

Ekonomist, bağımlı değişkenin değişimini açıklayabilmek için sırasıyla $X$ 'in birinci, ikinci ve üçüncü dereceden kuvvetlerini içeren ardışık polinom fonksiyonları kurmuştur. En yüksek derecenin $p=3$ olduğu fonksiyona geçiş yapıldığında şu istatistiksel tablo ortaya çıkmıştır:

- Modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ikinci dereceden (karesel) modele kıyasla çok küçük bir miktar artarken, düzeltilmiş belirtme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) ivme kaybederek azalmıştır.
- Modele son aşamada eklenen üçüncü dereceden kuvvete ( $X^3$ ) ait eğim katsayısının t-testi, $\alpha=0.05$ kritik anlamlılık düzeyinde sıfır hipotezini reddedememiştir.
- Modeldeki bağımsız terimler ( $X$ , $X^2$ ve $X^3$ ) arasındaki doğrusal bağımlılığı yansıtan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) değerleri tehlike sınırını aşarak 50'nin üzerine çıkmıştır.

Bu analitik tablo ışığında, polinom regresyon modellemesi prensipleri ve EKK varsayımları dikkate alındığında aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Üçüncü dereceden terim, $\bar{R}^2$ 'deki düşüş ve anlamsız t-testi sebebiyle denklemden çıkarılmalıdır; yüksek VIF ile saptanan yapısal çoklu doğrusal bağlantıyı dizginlemek için ise kalan bağımsız değişken gözlemleri aritmetik ortalamalarından arındırılarak merkezileştirme yapılmalıdır.Cevap
B
VIF değerlerindeki aşırı yükselme En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin sapmasızlık özelliğini kalıcı olarak bozduğundan, polinom fonksiyon yaklaşımı terk edilmeli ve farklı bir tahmin yöntemine geçilmelidir.
C
Modele yeni bir bileşen dâhil edildiğinde düzeltilmiş $R^2$ 'nin teorik olarak her koşulda artış göstermesi beklendiğinden, yaşanan bu azalma modelde dışlanmış spesifikasyon hatası yaratan kritik bir faktör olduğunu kanıtlar.
D
Son eklenen polinom teriminin modele net marjinal katkısını belirlemek adına bireysel t-testi sonuçları yerine, modelin bütünsel anlamlılığını sınayan varyans analizi (genel F-testi) sonucuna bakılarak nihai karar verilmelidir.
E
İkinci dereceden forma indirgeme yapıldığında, regresyon modelinin standart hatası tahmin edilirken modele giren temel bağımsız değişken tek bir adet ( $X$ ) olduğu için hata serbestlik derecesi $n-3$ yerine basit doğrusal modeldeki gibi $n-2$ alınmalıdır.

Cevap

Üçüncü dereceden polinom terimi modelden dışlanmalı ve geriye kalan ikinci dereceden modeldeki yapısal çoklu doğrusal bağlantıyı gidermek amacıyla gözlem değerleri merkezileştirilmelidir.

Polinom regresyon modellemesinde optimal derecenin belirlenmesi için modele en son dâhil edilen yüksek dereceli terimin kısmi t-testine ve düzeltilmiş

R^2

(

\bar{R}^2

) kriterine bakılır. İlgili terimin (

X^3

) t-istatistiği anlamsızsa ve modele dâhil edilmesi

\bar{R}^2

değerini düşürüyorsa, bu terim fonksiyondan kesinlikle çıkarılmalıdır. Ayrıca polinom modellerde (

X, X^2, X^3

) matematiksel olarak zorunlu ortaya çıkan yüksek korelasyona 'yapısal çoklu doğrusal bağlantı' denir. Bu sorun, bağımsız değişken değerlerinden kendi ortalamasının çıkarılması işlemi olan 'merkezileştirme' (mean-centering) yapılarak etkili biçimde hafifletilir.

Adım Adım Çözüm

Düzeltilmiş R² ve kısmi t-testi sonuçlarının polinom derece seçimi açısından yorumlanması.

Düzeltilmiş

R^2

'nin düşmesi ve

X^3

katsayısının istatistiksel olarak anlamsız bulunması, üçüncü dereceden kuvvetin verideki varyansı açıklamakta yetersiz kaldığını ve gereksiz olduğunu gösterir. Analize ikinci dereceden (karesel) modelle devam edilmelidir.

Gereksiz değişkenler serbestlik derecesini düşürerek modelin tahmin gücünü zayıflatır.

Polinom fonksiyonlarda VIF değerlerinin EKK özelliklerine olan etkisinin incelenmesi.

Polinom modellerin doğası gereği

X, X^2, X^3

serileri arasında yüksek korelasyon (yapısal çoklu doğrusal bağlantı) bulunması beklenen bir durumdur. Bu durum varyansı artırır ancak EKK tahmin edicileri sapmasız kalmaya devam eder.

Gauss-Markov teoremine göre çoklu bağlantı, sapmasızlık varsayımını ihlal eden bir sorun değildir.

Yapısal çoklu doğrusal bağlantı sorununa yönelik istatistiksel çözüm belirlenmesi.

Veri setindeki gözlemlerin aritmetik ortalamadan sapmaları alınarak (merkezileştirme:

x_i = X_i - \bar{X}

) model yeniden kurulduğunda terimler arasındaki korelasyon şiddeti büyük ölçüde kırılır.

Merkezileştirme (mean-centering), polinom modellerde çoklu bağlantıyı kontrol altına almak için literatürde benimsenen en geçerli yöntemdir.

Anahtar Kavram

Polinom Regresyon Modellerinde Derece Belirleme ve Merkezileştirme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru