Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMomentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)
Bir risk analizi modelinde sürekli ve kesikli bileşenler barındıran karma (mixture) yapılı bir XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), t<ln⁡32t < \frac{\ln 3}{2} olmak üzere,
MX(t)=e3t3−e2t+12e2t+2t2M_X(t) = \frac{e^{3t}}{3 - e^{2t}} + \frac{1}{2} e^{2t + 2t^2}
biçiminde tanımlanmıştır.

Bu modele göre, XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    72\frac{7}{2}
  2. 92\frac{9}{2}Cevap
  3. C
    77
  4. D
    192\frac{19}{2}
  5. E
    272\frac{27}{2}

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı 92\frac{9}{2} değerine eşittir.
Verilen moment çıkaran fonksiyon, w1=0.5w_1 = 0.5 ve w2=0.5w_2 = 0.5 ağırlıklarına sahip bir karma dağılımı ifade etmektedir. Birinci bileşen M1(t)=2e3t3−e2tM_1(t) = \frac{2e^{3t}}{3 - e^{2t}} olup ardışık türevleri alınarak t=0t=0'da değerlendirildiğinde E[X1]=4E[X_1] = 4 ve E[X12]=19E[X_1^2] = 19 elde edilir. İkinci bileşen M2(t)=e2t+2t2M_2(t) = e^{2t + 2t^2} ise μ=2\mu=2, σ2=4\sigma^2=4 parametreli bir Normal dağılımı gösterir ve buradan E[X2]=2E[X_2] = 2 ile E[X22]=8E[X_2^2] = 8 bulunur. Genel beklenen değer E[X]=0.5(4)+0.5(2)=3E[X] = 0.5(4) + 0.5(2) = 3 ve genel ikinci moment E[X2]=0.5(19)+0.5(8)=272E[X^2] = 0.5(19) + 0.5(8) = \frac{27}{2} olarak hesaplanır. Son olarak varyans formülüyle Var(X)=E[X2]−(E[X])2=272−9=92Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen MGF'yi iki geçerli moment çıkaran fonksiyonun ağırlıklı toplamı (karma dağılım) şeklinde yeniden yazın.
MX(t)=12(2e3t3−e2t)+12e2t+2t2M_X(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{2e^{3t}}{3 - e^{2t}} \right) + \frac{1}{2} e^{2t + 2t^2} olarak iki bileşene ayrılır (w1=0.5w_1 = 0.5, w2=0.5w_2 = 0.5).
MGF'den doğrudan ardışık türevler almak işlemi çok uzatacağından, fonksiyonu bilinen parçalara ayırmak hesaplamayı kolaylaştırır.
2
Birinci bileşen olan M1(t)=2e3t3−e2tM_1(t) = \frac{2e^{3t}}{3 - e^{2t}} için birinci ve ikinci momentleri hesaplayın.
M1′(t)=18e3t−2e5t(3−e2t)2⇒M1′(0)=164=4M_1'(t) = \frac{18e^{3t} - 2e^{5t}}{(3 - e^{2t})^2} \Rightarrow M_1'(0) = \frac{16}{4} = 4. Benzer şekilde ikinci türev M1′′(0)=19M_1''(0) = 19 bulunur. Yani E[X1]=4E[X_1] = 4 ve E[X12]=19E[X_1^2] = 19'dur.
Karma dağılımın genel momentlerini bulabilmek için her bir alt bileşenin momentlerine ihtiyaç vardır.
3
İkinci bileşen olan M2(t)=e2t+2t2M_2(t) = e^{2t + 2t^2} için momentleri hesaplayın.
Bu MGF, μ=2\mu=2 ve σ2=4\sigma^2=4 parametreli bir Normal dağılıma aittir. Buradan E[X2]=2E[X_2] = 2 ve E[X22]=4+22=8E[X_2^2] = 4 + 2^2 = 8 olur.
Normal dağılımın MGF formatı (eμt+σ2t2/2e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}) kullanılarak türev almadan momentler hızlıca elde edilebilir.
4
Bileşenlerin momentlerini kullanarak XX'in genel beklenen değerini (E[X]E[X]) ve ikinci momentini (E[X2]E[X^2]) bulun.
E[X]=0.5(4)+0.5(2)=3E[X] = 0.5(4) + 0.5(2) = 3 ve E[X2]=0.5(19)+0.5(8)=272E[X^2] = 0.5(19) + 0.5(8) = \frac{27}{2} bulunur.
Karma dağılımlarda rr. moment, bileşenlerin rr. momentlerinin ağırlıklı ortalamasına eşittir.
5
Varyans formülünü uygulayarak Var(X)Var(X) değerini hesaplayın.
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=272−32=272−9=92Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{27}{2} - 3^2 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}.
Varyans her zaman ikinci momentten beklenen değerin karesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Karma (Mixture) Dağılımlarda Momentler ve Varyans

Alternatif Yöntem

Verilen MX(t)M_X(t) fonksiyonunun doğrudan t=0t=0'daki birinci ve ikinci türevlerini (bölüm ile çarpım kuralı yardımıyla) zincirleme alıp formülleri uygulayarak, karma yapıyı fark etmeden de tamamen analitik yolla sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)

Bu konudan daha fazla soru