Sürekli ve kesikli bileşenleri olan bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu … — KPSS İstatistik

Sürekli ve kesikli bileşenleri olan bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), $t < \frac{1}{3}$ olmak üzere,

M_X(t) = c + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{c}{1 - 3t}

olarak verilmiştir. Burada $c$ bir sabit gerçel sayıdır.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{22}{3}$
B
$1$
$\frac{41}{9}$ Cevap
D
$\frac{53}{9}$
E
$3$

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı

\frac{41}{9}

'dur.

Moment çıkaran fonksiyonlar her zaman

t=0

anında

1

'e eşit olmalıdır. Bu kuraldan yararlanarak

M_X(0) = c + 1/3 + c = 1

denkleminden

c=1/3

sabiti bulunur. İfade

M_X(t) = 1/3 + 1/3 e^{2t} + 1/3(1-3t)^{-1}

şeklini alır. Birinci moment

M_X'(0)

ile

5/3

, ikinci moment ise

M_X''(0)

ile

22/3

olarak elde edilir. Varyans formülü olan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

eşitliğinde değerler yerine konduğunda sonucun

41/9

olduğu kesinleşir.

Adım Adım Çözüm

M_X(0) = 1

kuralını kullanarak

c

sabitini bul.

M_X(0) = c + \frac{1}{3}e^0 + \frac{c}{1 - 0} = 2c + \frac{1}{3} = 1 \implies 2c = \frac{2}{3} \implies c = \frac{1}{3}

Moment çıkaran fonksiyonların tanımı gereği, her zaman

t=0

noktasındaki değerleri 1'e eşittir.

c

değerini yerine koyup

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) bulmak için MGF'nin

t

'ye göre birinci türevini alıp

t=0

yaz.

M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{1}{3} (1 - 3t)^{-1} \right] = \frac{2}{3} e^{2t} + (1 - 3t)^{-2}

. Buradan

E[X] = M_X'(0) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}

bulunur.

Bir rastgele değişkenin birinci momenti (beklenen değeri), moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinin

t=0

noktasındaki değerine eşittir.

X

'in ikinci momentini (

E[X^2]

) bulmak için MGF'nin ikinci türevini alıp

t=0

yaz.

M_X''(t) = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2}{3} e^{2t} + (1 - 3t)^{-2} \right] = \frac{4}{3} e^{2t} + 6(1 - 3t)^{-3}

. Buradan

E[X^2] = M_X''(0) = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}

bulunur.

İkinci moment (E[X^2]), MGF'nin ikinci türevinin

t=0

noktasındaki değerine eşittir.

Varyans formülünü uygula:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

Var(X) = \frac{22}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{66}{9} - \frac{25}{9} = \frac{41}{9}

Bir dağılımın varyansı, ikinci momentten birinci momentin karesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) ile Beklenen Değer ve Varyans Hesabı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru