Kesikli bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), tüm gerçel t değerler… — KPSS İstatistik

Kesikli bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF), tüm gerçel

t

değerleri için

M_X(t) = \frac{1 + 2e^t + 3e^{2t}}{6}

olarak verilmiştir.
\Buna göre,

Y = 3X - 2

rastgele değişkeninin varyansı (

Var(Y)

) aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru cevap 5 olmalıdır. MGF üzerinden birinci ve ikinci türevler alınarak

X

'in beklenen değeri ve ikinci momenti hesaplanır, buradan

Var(X) = 5/9

bulunur. Ardından

Var(aX+b)=a^2Var(X)

özelliği kullanılarak sonuca ulaşılır.

Doğru cevap 5'tir çünkü X'in moment çıkaran fonksiyonu üzerinden birinci ve ikinci türevler alınarak beklenen değer (

E[X]=4/3

) ve ikinci moment (

E[X^2]=7/3

) bulunmuş, buradan varyans formülüyle

Var(X) = 5/9

elde edilmiştir. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı (

Var(aX+b) = a^2 Var(X)

) doğru bir şekilde uygulandığında

Var(3X-2) = 3^2 \times (5/9) = 9 \times (5/9) = 5

sonucu hatasız olarak bulunur.

Moment çıkaran fonksiyonun

t=0

noktasındaki birinci türevini bularak

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) hesaplamak.

M_X'(t) = \frac{2e^t + 6e^{2t}}{6} \implies E[X] = M_X'(0) = \frac{2+6}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Bir rastgele değişkenin beklenen değeri, moment çıkaran fonksiyonunun

t=0

'daki birinci türevine eşittir.

Moment çıkaran fonksiyonun

t=0

noktasındaki ikinci türevini bularak

X

'in karesinin beklenen değerini (

E[X^2]

) hesaplamak.

M_X''(t) = \frac{2e^t + 12e^{2t}}{6} \implies E[X^2] = M_X''(0) = \frac{2+12}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}

İkinci moment (

E[X^2]

), MGF'nin

t=0

'daki ikinci türevi alınarak bulunur.

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{7}{3} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{21}{9} - \frac{16}{9} = \frac{5}{9}

Varyans formülü, ikinci momentten birinci momentin karesinin çıkarılmasını gerektirir.

Y = 3X - 2

rastgele değişkeninin varyansını varyans özelliklerini kullanarak bulmak.

Var(Y) = Var(3X - 2) = 3^2 \cdot Var(X) = 9 \cdot \frac{5}{9} = 5

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

kuralı gereğince sabit terimin varyansa etkisi yoktur ve katsayının karesi alınır.

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) türevleri ile varyans hesabı ve varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri

Soru