Examkin

Soru

Zorluk: ZorMomentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)
Bir XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) t<ln⁡(1.5)t < \ln(1.5) için,
MX(t)=exp⁡(et−13−2et)M_X(t) = \exp\left( \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} \right)
olarak verilmiştir.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 5Cevap
  5. E
    6

Cevap

X rastgele değişkeninin varyansı 5'tir.
Rastgele bir değişkenin varyansı, moment çıkaran fonksiyonun logaritması alınarak elde edilen kümülant çıkaran fonksiyonun (KX(t)=ln⁡MX(t)K_X(t) = \ln M_X(t)) doğrudan ikinci türevinin t=0t=0 noktasındaki değerine (KX′′(0)K_X''(0)) eşittir. Verilen MX(t)M_X(t) üzerinden KX(t)=et−13−2etK_X(t) = \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} bulunur. Birinci türevi t=0t=0 için 1, ikinci türevi ise t=0t=0 için 5 olarak hesaplandığından varyans 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Moment çıkaran fonksiyon (MGF) ile varyans arasındaki ilişkiyi kurmak.
Var(X)=MX′′(0)−[MX′(0)]2Var(X) = M_X''(0) - [M_X'(0)]^2 eşitliği veya kümülant çıkaran fonksiyon (KX(t)=ln⁡MX(t)K_X(t) = \ln M_X(t)) kullanılarak Var(X)=KX′′(0)Var(X) = K_X''(0) özelliği yazılır.
Varyansı bulmak için orijine göre momentlere veya kümülantlara ihtiyaç vardır.
2
Türev işlemlerini kolaylaştırmak için kümülant çıkaran fonksiyonu (KX(t)K_X(t)) elde etmek.
KX(t)=ln⁡[exp⁡(et−13−2et)]=et−13−2etK_X(t) = \ln\left[ \exp\left( \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} \right) \right] = \frac{e^t - 1}{3 - 2e^t} elde edilir.
MGF üstel bir fonksiyon olduğundan, logaritmasını alarak bölüm fonksiyonuna geçmek zincir kuralı zorluğunu azaltır.
3
Beklenen değeri (E[X]E[X]) bulmak için KX(t)K_X(t)'nin birinci türevini alıp t=0t=0 noktasında değerlendirmek.
KX′(t)=et(3−2et)−(et−1)(−2et)(3−2et)2=et(3−2et)2K_X'(t) = \frac{e^t(3-2e^t) - (e^t-1)(-2e^t)}{(3-2e^t)^2} = \frac{e^t}{(3-2e^t)^2} bulunur. t=0t=0 için E[X]=KX′(0)=112=1E[X] = K_X'(0) = \frac{1}{1^2} = 1 elde edilir.
Kümülant serisinin birinci terimi rastgele değişkenin beklenen değerine eşittir.
4
Varyansı (Var(X)Var(X)) doğrudan bulmak için KX(t)K_X(t)'nin ikinci türevini alıp t=0t=0 noktasında değerlendirmek.
KX′′(t)=et(3−2et)2−et⋅2(3−2et)(−2et)(3−2et)4=3et+2e2t(3−2et)3K_X''(t) = \frac{e^t(3-2e^t)^2 - e^t \cdot 2(3-2e^t)(-2e^t)}{(3-2e^t)^4} = \frac{3e^t + 2e^{2t}}{(3-2e^t)^3} hesaplanır. t=0t=0 için Var(X)=KX′′(0)=3+213=5Var(X) = K_X''(0) = \frac{3+2}{1^3} = 5 bulunur.
Kümülant serisinin ikinci terimi, doğrudan rastgele değişkenin varyansını (Var(X)Var(X)) verir.

Anahtar Kavram

Moment ve Kümülant Çıkaran Fonksiyonların Özellikleri

Alternatif Yöntem

Kümülant çıkaran fonksiyon (CGF) yerine doğrudan moment çıkaran fonksiyonun (MX(t)M_X(t)) zincir kuralı ile türevleri de alınabilir. MX′(t)=MX(t)⋅et(3−2et)2M_X'(t) = M_X(t) \cdot \frac{e^t}{(3-2e^t)^2} olup t=0t=0 için MX′(0)=1⋅1=1=E[X]M_X'(0) = 1 \cdot 1 = 1 = E[X] olur. Çarpımın türevi kuralıyla ikinci türev MX′′(t)M_X''(t) hesaplanıp t=0t=0 konduğunda MX′′(0)=6=E[X2]M_X''(0) = 6 = E[X^2] bulunur. Varyans tanımından Var(X)=E[X2]−(E[X])2=6−12=5Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - 1^2 = 5 aynı sonuca ulaştırır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)