Examkin

Soru

Zorluk: ZorMomentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)

Bir endüstriyel üretim hattında, üretilen hassas bileşenlerin milimetre cinsinden sapma miktarını modelleyen XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) t<0.5t < 0.5 için,

MX(t)=e3t(1−2t)4M_X(t) = \frac{e^{3t}}{(1-2t)^4}

olarak verilmektedir.

Buna göre, kalibrasyon işlemi sonrasındaki hata payını ifade eden Y=−2X+7Y = -2X + 7 rastgele değişkeninin varyansı, Var(Y)Var(Y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    16
  2. B
    32
  3. 64Cevap
  4. D
    71
  5. E
    548

Cevap

64
Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevi t=0t=0'da 11, ikinci türevi ise t=0t=0'da 137 değerini verir. Var(X)=137−112=16Var(X) = 137 - 11^2 = 16'dır. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre Var(−2X+7)=(−2)2⋅Var(X)=4⋅16=64Var(-2X + 7) = (-2)^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 16 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
MX(t)M_X(t) fonksiyonunun birinci türevi alınır ve t=0t=0 noktasında değerlendirilerek E[X]E[X] (beklenen değer) bulunur.
MX′(t)=3e3t(1−2t)−4+e3t(−4)(1−2t)−5(−2)=e3t[3(1−2t)−4+8(1−2t)−5]M_X'(t) = 3e^{3t}(1-2t)^{-4} + e^{3t}(-4)(1-2t)^{-5}(-2) = e^{3t}[3(1-2t)^{-4} + 8(1-2t)^{-5}]. Buradan E[X]=MX′(0)=1⋅(3+8)=11E[X] = M_X'(0) = 1 \cdot (3 + 8) = 11.
Bir rastgele değişkenin birinci momenti, moment çıkaran fonksiyonunun t=0t=0'daki birinci türevine eşittir.
2
MX′(t)M_X'(t) fonksiyonunun bir kez daha türevi alınır ve t=0t=0 noktasında değerlendirilerek E[X2]E[X^2] (ikinci moment) bulunur.
MX′′(t)=9e3t(1−2t)−4+24e3t(1−2t)−5+24e3t(1−2t)−5+80e3t(1−2t)−6M_X''(t) = 9e^{3t}(1-2t)^{-4} + 24e^{3t}(1-2t)^{-5} + 24e^{3t}(1-2t)^{-5} + 80e^{3t}(1-2t)^{-6}. Buradan E[X2]=MX′′(0)=9+24+24+80=137E[X^2] = M_X''(0) = 9 + 24 + 24 + 80 = 137.
Bir rastgele değişkenin ikinci momenti, moment çıkaran fonksiyonunun t=0t=0'daki ikinci türevine eşittir.
3
XX rastgele değişkeninin varyansı Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 formülü ile hesaplanır.
Var(X)=137−(11)2=137−121=16Var(X) = 137 - (11)^2 = 137 - 121 = 16.
Varyans, ikinci momentten birinci momentin karesinin çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Y=−2X+7Y = -2X + 7 için varyans dönüşüm kuralı Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX + b) = a^2Var(X) uygulanır.
Var(Y)=(−2)2⋅Var(X)=4⋅16=64Var(Y) = (-2)^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 16 = 64.
Varyans doğrusal dönüşümlerde katsayının karesi ile çarpılır, eklenen sabit sayı varyansı etkilemez.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Türevleri ve Varyansın Doğrusal Dönüşüm Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler ve Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF)

Bu konudan daha fazla soru