Bir istatistikçi, iki değişkenli (X_1, X_2) bir veri setinden elde edilen kovaryans matris… — KPSS İstatistik

Bir istatistikçi, iki değişkenli ( $X_1, X_2$ ) bir veri setinden elde edilen kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler $\lambda_1 = 18$ ve $\lambda_2 = 6$ olarak belirlenmiştir. Birinci temel bileşen $Y_1 = a_1 X_1 + a_2 X_2$ şeklinde tanımlanmış olup, bu bileşene ait normalize edilmiş katsayılar vektöründe $a_1 = 0,8$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, birinci temel bileşenin varyansı ( $Var(Y_1)$ ) ve $a_2$ katsayısının pozitif değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$Var(Y_1) = 18$ ve $a_2 = 0,6$ Cevap
B
$Var(Y_1) = 24$ ve $a_2 = 0,6$
C
$Var(Y_1) = 18$ ve $a_2 = 0,2$
D
$Var(Y_1) = 6$ ve $a_2 = 0,6$
E
$Var(Y_1) = 18$ ve $a_2 = 0,36$

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı

18

a_2

katsayısının pozitif değeri

0,6

olarak hesaplanan seçenektir.

Doğru cevapta, temel bileşenin varyansı doğrudan ilgili özdeğer olan 18 olarak alınmıştır. Ayrıca katsayıların kareleri toplamının 1 olması kuralından hareketle

0,8^2 + a_2^2 = 1

denklemi kurulmuş ve

a_2

değeri 0,6 olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

Temel bileşen varyansını belirleme

Var(Y_1) = \lambda_1 = 18

Temel Bileşenler Analizinde,

j

. temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin

j

. en büyük özdeğerine eşittir.

Katsayıların normalizasyon kuralını uygulama

a_1^2 + a_2^2 = 1

Temel bileşenleri oluşturan özvektörlerin katsayıları, bileşenin tekliğini ve ölçeklenebilirliğini sağlamak amacıyla normalize edilir (birim uzunluk kuralı).

Bilinmeyen katsayıyı hesaplama

0,8^2 + a_2^2 = 1 \Rightarrow 0,64 + a_2^2 = 1 \Rightarrow a_2^2 = 0,36 \Rightarrow a_2 = 0,6

Verilen

a_1 = 0,8

değeri yerine konularak denklemin çözülmesi sonucunda pozitif katsayı değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Özdeğer-Varyans İlişkisi ve Özvektör Normalizasyonu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular