Examkin

Soru

Zorluk: ZorEşit Dağıtım (Equal Allocation)

Bir araştırmacı, kitle büyüklüğü N=6000N=6000 olan bir kitleyi L=3L=3 tabakaya ayırmıştır. Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla n=120n=120 hacimli bir örneklemi eşit dağıtım (equal allocation) yöntemiyle tabakalara dağıtmıştır. Tabakalara ait kitle büyüklükleri (NhN_h), standart sapmalar (ShS_h) ve çalışma sonucunda elde edilen örneklem ortalamaları (yˉh\bar{y}_h) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (hh)Kitle Büyüklüğü (NhN_h)Standart Sapma (ShS_h)Örneklem Ortalaması (yˉh\bar{y}_h)
130001050
220001560
310003090

Buna göre, uygulanan örnekleme tasarımı ve tahmin süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Tüm tabakalar için Nh⋅ShN_h \cdot S_h çarpımları eşit olduğundan, eşit dağıtım yöntemi varyansı minimum yapan Neyman dağıtımı ile aynı örneklem dağılımını sağlamıştır ve kitle ortalamasının yansız tahmini 6060'tır.Cevap
  2. B
    Eşit dağıtım yönteminde her tabakadan eşit sayıda (nh=40n_h=40) birim çekildiği için tabaka ağırlıklarına gerek kalmaz; bu nedenle kitle ortalamasının yansız tahmini 66,6766,67'dir.
  3. C
    Orantılı dağıtım tercih edilseydi 1. tabakadan 6060 birim seçilirdi ve eşit dağıtıma kıyasla kitle ortalaması tahmini için daha küçük bir varyans (daha yüksek etkinlik) elde edilirdi.
  4. D
    Tabaka standart sapmaları birbirinden farklı olduğu için eşit dağıtım yansız bir tahmin üretmez; yansızlık için örneklem büyüklüklerinin varyanslarla orantılı olması gerekir.

Cevap

Eşit dağıtım yönteminin bu özel kitlede optimum dağıtımla aynı sonucu verdiğini ve kitle ortalaması tahmininin doğru hesaplandığını belirten seçenek doğrudur.
Verilen problemde her bir tabaka için Kitle Büyüklüğü (NhN_h) ile Standart Sapmanın (ShS_h) çarpımı hesaplandığında hepsinin 3000030000'e eşit olduğu görülür. Optimum (Neyman) dağıtım formülünde örneklem payları bu çarpımla orantılıdır; çarpımlar eşit olduğunda Neyman dağıtımı doğal olarak tabakalara eşit pay dağıtır. Bu nedenle eşit dağıtım varyansı minimize eder. Ayrıca yˉst\bar{y}_{st} formülüyle hesaplanan yansız ortalama tahmini 0,5(50)+0,33(60)+0,16(90)=600,5(50) + 0,33(60) + 0,16(90) = 60 olarak doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit dağıtıma göre her tabakadan çekilen örneklem hacmini (nhn_h) hesapla.
n1=n2=n3=120/3=40n_1 = n_2 = n_3 = 120 / 3 = 40 birim.
Eşit dağıtım kuralı gereği toplam örneklem hacmi tabaka sayısına eşit olarak paylaştırılır.
2
Kitle ortalamasının yansız tahmini için tabaka ağırlıklarını (WhW_h) bul ve yˉst=∑Whyˉh\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h formülünü uygula.
W1=3000/6000=1/2W_1 = 3000/6000 = 1/2, W2=2000/6000=1/3W_2 = 2000/6000 = 1/3, W3=1000/6000=1/6W_3 = 1000/6000 = 1/6. Ortalama: (1/2×50)+(1/3×60)+(1/6×90)=25+20+15=60(1/2 \times 50) + (1/3 \times 60) + (1/6 \times 90) = 25 + 20 + 15 = 60.
Tabakalı örneklemede yansız kitle ortalaması tahmini, tabaka örneklem ortalamalarının kitledeki tabaka büyüklükleriyle ağırlıklandırılmasıyla bulunur.
3
Her tabaka için Neyman dağıtım paylarını (Nh⋅ShN_h \cdot S_h) hesapla ve orantılı dağıtımla karşılaştır.
Neyman için: 3000×10=300003000 \times 10 = 30000; 2000×15=300002000 \times 15 = 30000; 1000×30=300001000 \times 30 = 30000. Tüm çarpımlar eşittir. Orantılı dağıtım için 1. tabaka: 120×(3000/6000)=60120 \times (3000/6000) = 60.
Seçeneklerdeki Neyman ve orantılı dağıtım kıyaslamalarının teorik doğruluğunu test etmek.
4
Elde edilen verileri analiz ederek seçenekleri değerlendir.
Nh⋅ShN_h \cdot S_h sabit olduğundan optimum (Neyman) dağıtım formülü nh=n/Ln_h = n/L sonucunu verir. Eşit dağıtım bu durumda varyansı minimize eder.
Neyman dağıtım formülündeki pay kısımlarının eşit olması, bu özel kitle parametreleri altında eşit dağıtımın matematiksel olarak optimum olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Eşit Dağıtımda Ağırlıklandırma ve Optimum Dağıtıma İndirgenme Şartları
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Eşit Dağıtım (Equal Allocation)

Bu konudan daha fazla soru